不允许缺货的生产销售库存模型优化与分析

首先建立生产销售库存模型的微分方程：

dq/dt = k - r，当 q > 0 时；

dq/dt = -r，当 q = 0 时；

其中，k为生产速率，r为销售速率。

根据题意，我们需要建立一个不允许缺货的模型，即在任何时刻，存货量 q 都不应该小于零。因此，我们可以将模型分为两个阶段：

第一阶段：0 < t < To

此时，生产速率 k 大于销售速率 r，因此我们可以一边生产一边销售，使得存货量 q 不断增加。因此，此时的微分方程为：

dq/dt = k - r

初始条件为 q(0) = q0

第二阶段：To < t < T

此时，生产速率 k 小于销售速率 r，因此我们只能销售存货量 q ，使得存货量 q 逐渐减少。因此，此时的微分方程为：

dq/dt = -r

初始条件为 q(To) = q(To-0)

根据初始条件，我们可以得到 q(T) 的值，即 T 周期结束时的存货量。因此，我们可以用以上两个微分方程来求解整个模型。

下面考虑每个周期的总费用。假设每个周期为 T ，每次生产准备费为 c1 ，单位时间每件产品贮存费为 c2 。因此，在第一阶段，总费用为：

C1 = c1 + c2 ∫₀^To q(t) dt

在第二阶段，总费用为：

C2 = c2 ∫_To^T q(t) dt

因此，一个完整的周期的总费用为：

C = C1 + C2 = c1 + c2 ∫₀^To q(t) dt + c2 ∫_To^T q(t) dt

对于最优生产周期，我们需要使每天的总费用最小化。因此，我们需要求解 C 对 T 的导数，使其等于零：

dC/dT = c2(q(T) - q(To)) = 0

根据不允许缺货的条件，我们可以得到最优生产周期：

T_opt = To + q(To)/r

接下来讨论 k >> r 和 k ≈ r 的情况。

当 k >> r 时，生产速率远大于销售速率，因此在第一阶段，存货量会不断增加，直到达到一个最大值。因此，我们可以取 To = T/2 ，使得存货量在周期的中间达到最大值，然后在第二阶段将存货量逐渐减少。

当 k ≈ r 时，生产速率和销售速率相当，因此存货量不会出现明显的波动。因此，我们可以取 To = T/2 ，使得生产和销售的时间相当。