阿基米底Copula函数：分布函数和概率密度函数详解

阿基米底Copula函数的分布函数和概率密度函数不是唯一的，因为它们取决于所选择的参数。以下是一些可能的函数形式：

1. 分布函数：$C(u, v) = \exp\left(-\left[(u^{-\theta} + v^{-\theta})^{-1/\theta}\right]\right)$，其中$u, v \in [0, 1]$，$\theta \in [-1, \infty)\backslash{0}$是Copula函数的参数。
2. 概率密度函数：$c(u, v) = \dfrac{\partial^2 C(u, v)}{\partial u \partial v} = \dfrac{\theta}{(u^{-\theta} + v^{-\theta})^{1+1/\theta}}\exp\left(-\left[(u^{-\theta} + v^{-\theta})^{-1/\theta}\right]\right)$。

注意，当$\theta\rightarrow 0$时，分布函数和概率密度函数分别退化为独立的均匀分布函数和概率密度函数，即$C(u, v) = uv$，$c(u, v) = 1$。此外，当$\theta<0$时，阿基米底Copula函数表示负相关，当$\theta>0$时，表示正相关。