偏序集极大元、极小元和最小元问题：集合论应用

设 $A$ 为集合，$B = \rho(A) \setminus {\emptyset} \setminus {A}$，且 $B \neq \emptyset$。求偏序集 $(B, \subseteq)$ 的极大元、极小元和最小元。

解答:

由于 $B$ 是 $A$ 的幂集去掉空集和全集后的集合，所以 $B$ 中的元素都是 $A$ 的真子集。

• 极大元: 由于 $B$ 中的元素都是 $A$ 的真子集，所以 $B$ 中不存在极大元。因为对于 $B$ 中的任意元素 $X$，总能找到一个 $A$ 的真子集 $Y$，使得 $X \subset Y$，且 $Y \in B$。

• 极小元: 由于 $B$ 中的元素都是 $A$ 的真子集，所以 $B$ 中的极小元就是 $A$ 的所有单元素子集，即 $B$ 中的所有包含一个元素的集合。

• 最小元: 由于 $B$ 中的元素都是 $A$ 的真子集，所以 $B$ 中不存在最小元。因为对于 $B$ 中的任意元素 $X$，总能找到一个 $A$ 的真子集 $Y$，使得 $Y \subset X$，且 $Y \in B$。

结论: 偏序集 $(B, \subseteq)$ 不存在极大元和最小元，极小元是 $A$ 的所有单元素子集。