高斯求积公式性质及证明：精确性、唯一性、对称性和正性

高斯求积公式是指在区间[-1,1]上，对于任意的n，存在唯一的n+1个节点x0,x1,···,xn和对应的权重w0,w1,···,wn，使得对于任意次数不超过2n+1的多项式f(x)，有如下的求积公式成立：

$$\int_{-1}^1f(x)dx\approx\sum_{i=0}^nw_if(x_i)$$

其中，wi称为权重，xi称为节点。

高斯求积公式的性质和结论如下：

高斯求积公式在给定区间上是精确的，即对于任意次数不超过2n+1的多项式f(x)，有$\int_{-1}^1f(x)dx=\sum_{i=0}^nw_if(x_i)$。

证明：设g(x)=$\int_{-1}^1f(x)dx-\sum_{i=0}^nw_if(x_i)$，则g(x)是一个次数不超过2n+1的多项式，且g(xi)=0，因此g(x)有n+1个根。由于次数不超过2n+1，因此g(x)最多有2n+1个根，因此g(x)是一个恒等于0的多项式，即$\int_{-1}^1f(x)dx=\sum_{i=0}^nw_if(x_i)$。

高斯求积公式的节点和权重是唯一的。

证明：设另有一组节点和权重xi',wi'也满足求积公式成立，则对于任意次数不超过4n+1的多项式f(x)，有：

$$\begin{aligned}&\int_{-1}^1f(x)dx=\sum_{i=0}^nw_if(x_i)\&\int_{-1}^1f(x)dx=\sum_{i=0}^nw_i'f(x_i')\\end{aligned}$$

令g(x)=$\int_{-1}^1f(x)dx-\sum_{i=0}^nw_if(x_i)$，h(x)=$\int_{-1}^1f(x)dx-\sum_{i=0}^nw_i'f(x_i')$，则g(x)和h(x)都是次数不超过4n+1的多项式，且g(xi)=h(xi)=0。因此，g(x)和h(x)的差也是一个次数不超过4n+1的多项式，且有4n+2个根，因此它必须是恒等于0的多项式，即xi=xi'且wi=wi'。

高斯求积公式的节点是对称的。

证明：设xi和xj是高斯求积公式的节点，且xi≠xj，则考虑多项式f(x)=(x-xi)(x-xj)，它是一个次数为2的多项式，且有$\int_{-1}^1f(x)dx=0$。根据求积公式，有：

$$\int_{-1}^1f(x)dx=\sum_{k=0}^nw_k(x_k-x_i)(x_k-x_j)$$

由于xi和xj都是节点，因此(x_k-xi)(x_k-xj)在k=i或k=j时为0，因此上式右边只有两项不为0，即：

$$\int_{-1}^1f(x)dx=w_if(x_i)+w_jf(x_j)$$

又因为f(x)的系数是正的，因此wi和wj必须同号。又由于f(x)在x=(xi+xj)/2处取得最大值，因此wi=wj，即xi和xj对称。

高斯求积公式的权重是正的。

证明：设wi<0，则考虑多项式f(x)=x-xi，它是一个次数为1的多项式，且有$\int_{-1}^1f(x)dx=0$。根据求积公式，有：

$$\int_{-1}^1f(x)dx=\sum_{k=0}^nw_k(x_k-x_i)$$

由于xi是节点，因此(x_k-xi)在k=i时为0，而在k≠i时为非零实数，因此上式右边只有一项不为0，即：

$$\int_{-1}^1f(x)dx=w_if(x_i)<0$$

这与$\int_{-1}^1f(x)dx=0$矛盾，因此wi>0。

综上所述，高斯求积公式具有精确性、唯一性、对称性和正性等重要性质。