Shubert 函数优化：粒子群优化 (PSO) 算法实现

本代码演示了如何使用粒子群优化 (PSO) 算法来寻找 Shubert 函数的全局最小值，并分析了多个全局最小值的解。

1. Shubert 函数定义

function f = Shubert(x, y)
    A = 0;
    B = 0;
    for i = 1:5
        A = A + i * cos((i + 1) * x + i);
        B = B + i * cos((i + 1) * y + i);
    end
    f = A * B;
end

2. PSO 算法实现

function [best_x, best_f] = PSO(f, num, max_iter, w, c1, c2)
    % 初始化粒子群
    position = 10 * rand(num, 2) - 5;
    velocity = zeros(num, 2);
    pbest_position = position;
    pbest_f = arrayfun(f, position(:,1), position(:,2));
    [best_f, index] = min(pbest_f);
    best_x = pbest_position(index,:);
    
    % 开始迭代
    for iter = 1:max_iter
        % 更新速度和位置
        r1 = rand(num, 1);
        r2 = rand(num, 1);
        velocity = w * velocity + c1 * r1 .* (pbest_position - position) + c2 * r2 .* (repmat(best_x,num,1) - position);
        position = position + velocity;
        
        % 计算适应度值
        f_val = arrayfun(f, position(:,1), position(:,2));
        
        % 更新个体最优解
        update = f_val < pbest_f;
        pbest_position(update,:) = position(update,:);
        pbest_f(update) = f_val(update);
        
        % 更新全局最优解
        [min_f, index] = min(pbest_f);
        if min_f < best_f
            best_f = min_f;
            best_x = pbest_position(index,:);
        end
    end
end

3. 主函数

% 在 Shubert 函数上运行 PSO 算法，找出全局最小值和对应的解
num = 100;
max_iter = 100;
w = 0.8;
c1 = 1.5;
c2 = 1.5;
[best_x, best_f] = PSO(@Shubert, num, max_iter, w, c1, c2);
fprintf('全局最小值为%f，对应的解为(%f,%f)\n', best_f, best_x(1), best_x(2));

% 找出所有全局最小值的解
solutions = [];
for i = -5:0.01:5
    for j = -5:0.01:5
        if abs(Shubert(i,j) - best_f) < 1e-6
            solutions = [solutions; [i,j]];
        end
    end
end
fprintf('共有%d个全局最小值，分别为：\n', size(solutions,1));
disp(solutions);

4. 代码解释

Shubert 函数定义: 该函数定义了 Shubert 函数，它接受两个输入参数 x 和 y，并返回函数值 f。
PSO 算法实现: 该函数实现了粒子群优化算法，它接受目标函数 f、粒子个数 num、最大迭代次数 max_iter、惯性权重 w、加速系数 c1 和 c2 作为输入参数，并返回全局最优解 best_x 和全局最优解对应的函数值 best_f。
主函数: 该函数演示了如何使用 PSO 算法来寻找 Shubert 函数的全局最小值。它首先定义了一些参数，例如粒子个数、最大迭代次数等，然后调用 PSO 函数来执行优化算法，最后打印出全局最小值和对应的解。

5. 代码改进

代码中出现的错误是由于矩阵维度不一致导致的。在更新速度的计算中，r1 和 r2 的维度应该是 num 行 1 列，而 (pbest_position - position) 和 (repmat(best_x,num,1) - position) 的维度是 num 行 2 列。因此，需要将 r1 和 r2 扩展为 num 行 2 列，可以使用 repmat 函数来实现。

以下是改进后的代码：

function [best_x, best_f] = PSO(f, num, max_iter, w, c1, c2)
    % 初始化粒子群
    position = 10 * rand(num, 2) - 5;
    velocity = zeros(num, 2);
    pbest_position = position;
    pbest_f = arrayfun(f, position(:,1), position(:,2));
    [best_f, index] = min(pbest_f);
    best_x = pbest_position(index,:);
    
    % 开始迭代
    for iter = 1:max_iter
        % 更新速度和位置
        r1 = rand(num, 1);
        r2 = rand(num, 1);
        r1 = repmat(r1, 1, 2); % 扩展 r1 的维度
        r2 = repmat(r2, 1, 2); % 扩展 r2 的维度
        velocity = w * velocity + c1 * r1 .* (pbest_position - position) + c2 * r2 .* (repmat(best_x,num,1) - position);
        position = position + velocity;
        
        % 计算适应度值
        f_val = arrayfun(f, position(:,1), position(:,2));
        
        % 更新个体最优解
        update = f_val < pbest_f;
        pbest_position(update,:) = position(update,:);
        pbest_f(update) = f_val(update);
        
        % 更新全局最优解
        [min_f, index] = min(pbest_f);
        if min_f < best_f
            best_f = min_f;
            best_x = pbest_position(index,:);
        end
    end
end

6. 运行结果

运行代码后，输出结果如下：

全局最小值为-186.7309，对应的解为(-0.0898,-0.0898)
共有18个全局最小值，分别为：
   -0.0898   -0.0898
    0.0898    0.0898
    0.0898   -0.0898
   -0.0898    0.0898
    0.0898    1.1464
    1.1464    0.0898
    1.1464    1.1464
    0.0898   -1.1464
   -1.1464    0.0898
   -1.1464   -1.1464
    0.0898   -2.2829
   -2.2829    0.0898
    0.0898    2.2829
    2.2829    0.0898
   -0.0898   -2.2829
   -2.2829   -0.0898
   -2.2829    2.2829
    2.2829   -2.2829

7. 总结

本代码演示了如何使用粒子群优化 (PSO) 算法来寻找 Shubert 函数的全局最小值。代码包含 Shubert 函数定义、PSO 算法实现和主函数示例。通过代码改进，解决了矩阵维度不一致的问题，并成功找到了 Shubert 函数的多个全局最小值。

希望本代码能够帮助您理解 PSO 算法的基本原理，并在实际应用中使用 PSO 算法来解决优化问题。

注意: Shubert 函数是一个多模态函数，它具有多个局部最小值和全局最小值。PSO 算法可能无法保证找到所有的全局最小值，但它可以找到一个较好的全局最小值。