Shubert 函数优化：使用 PSO 算法寻找全局最小值

本文提供 Shubert 函数的 MATLAB 代码实现，并使用粒子群优化 (PSO) 算法寻找其全局最小值。代码包含寻找所有全局最小值的解，并解释 PSO 算法参数设置和实现细节。

1. Shubert 函数定义

function f = Shubert(x, y)
    A = 0;
    B = 0;
    for i = 1:5
        A = A + i * cos((i + 1) * x + i);
        B = B + i * cos((i + 1) * y + i);
    end
    f = A * B;
end

2. PSO 算法实现

function [gbest, fgbest, pbest, fpbest] = pso_Shubert(n, lb, ub, maxiter)
    % n: 粒子数
    % lb: 自变量下界
    % ub: 自变量上界
    % maxiter: 最大迭代次数
    % gbest: 全局最优解
    % fgbest: 全局最优解对应的函数值
    % pbest: 各个粒子的最优解
    % fpbest: 各个粒子的最优解对应的函数值
    
    % 初始化粒子位置和速度
    x = rand(n, 2) .* (ub - lb) + lb;
    v = rand(n, 2) .* (ub - lb) * 0.1;
    
    % 初始化个体最优解和全局最优解
    pbest = x;
    fpbest = Shubert(pbest(:, 1), pbest(:, 2));
    [fgbest, gbestidx] = min(fpbest);
    gbest = pbest(gbestidx, :);
    
    % PSO算法的参数设置
    w = 0.8; % 惯性权重
    c1 = 1.5; % 学习因子
    c2 = 1.5;
    
    % 迭代优化
    for iter = 1:maxiter
        % 更新粒子速度和位置
        v = w * v + c1 * rand(n, 2) .* (pbest - x) + c2 * rand(n, 2) .* (gbest - x);
        x = x + v;
        
        % 边界处理
        x(x < lb) = lb(x < lb);
        x(x > ub) = ub(x > ub);
        
        % 更新个体最优解和全局最优解
        fx = Shubert(x(:, 1), x(:, 2));
        for i = 1:n
            if fx(i) < fpbest(i)
                pbest(i, :) = x(i, :);
                fpbest(i) = fx(i);
            end
        end
        [fpbestmin, pbestidx] = min(fpbest);
        if fpbestmin < fgbest
            gbest = pbest(pbestidx, :);
            fgbest = fpbestmin;
        end
    end
    
    % 找出所有全局最小值的解
    tol = 1e-6; % 容差
    solutions = zeros(0, 2);
    for i = 1:n
        if abs(fpbest(i) - fgbest) < tol
            solutions = [solutions; pbest(i, :)];
        end
    end
    
    % 输出结果
    disp('全局最优解：');
    disp(gbest);
    disp('全局最优解对应的函数值：');
    disp(fgbest);
    disp('所有全局最小值的解：');
    disp(solutions);
    
end

3. 代码使用示例

% 设置 PSO 算法参数
n = 50; % 粒子数
lb = [-10, -10]; % 自变量下界
ub = [10, 10]; % 自变量上界
maxiter = 100; % 最大迭代次数

% 执行 PSO 算法
[gbest, fgbest, pbest, fpbest] = pso_Shubert(n, lb, ub, maxiter);

4. 代码解释

初始化粒子位置和速度： 随机生成 n 个粒子，每个粒子有两个维度，代表 Shubert 函数的两个自变量 x 和 y。速度也随机生成，并乘以 0.1 限制其初始值。
初始化个体最优解和全局最优解： 将初始位置设为每个粒子的最优解 (pbest)，并计算对应函数值 (fpbest)。将 fpbest 中的最小值作为全局最优解 (fgbest)，并记录其对应粒子位置为全局最优解 (gbest)。
PSO 算法参数设置： 设置惯性权重 w、学习因子 c1 和 c2。这些参数控制粒子在搜索过程中的惯性、个体学习和社会学习能力。
迭代优化： 循环迭代 maxiter 次，每次迭代更新每个粒子的速度和位置，并根据新位置更新个体最优解和全局最优解。
边界处理： 确保粒子位置在定义的自变量范围内。
更新个体最优解和全局最优解： 计算每个粒子当前位置对应的函数值，并比较当前函数值与个体最优解，如果更优则更新个体最优解。同时，比较全局最优解与所有粒子的个体最优解，如果更优则更新全局最优解。
找出所有全局最小值的解： 设置容差值 tol，将所有与全局最优解函数值相差小于 tol 的粒子位置加入到 solutions 数组中。

5. 总结

本文通过 MATLAB 代码实现 PSO 算法对 Shubert 函数进行优化，并找到所有全局最小值的解。代码解释了 PSO 算法的基本原理和参数设置，并提供使用示例。 PSO 算法是一种简单但有效的全局优化算法，可以应用于各种优化问题。