粒子群优化算法（PSO）求解Shubert函数最优解

本程序使用粒子群优化算法（PSO）求解Shubert函数的最优解，并绘制等高线图展示最优解位置。

1. PSO算法函数

function [xopt, yopt, fopt] = PSO(objfun, np, maxiter, bounds)
    % 初始化粒子
    x = rand(np, 1) * (bounds(2, 1) - bounds(1, 1)) + bounds(1, 1);
    y = rand(np, 1) * (bounds(2, 2) - bounds(1, 2)) + bounds(1, 2);
    v = zeros(np, 2);
    pbestx = x;
    pbesty = y;
    pbestf = inf(np, 1);
    for i = 1:np
        f = objfun(x(i), y(i));
        if f < pbestf(i)
            pbestf(i) = f;
        end
    end
    gbesti = find(pbestf == min(pbestf));
    gbestx = pbestx(gbesti);
    gbesty = pbesty(gbesti);
    gbestf = pbestf(gbesti);

    % 迭代优化
    for iter = 1:maxiter
        w = 0.5; % 惯性权重
        c1 = 2; % 个体学习因子
        c2 = 2; % 社会学习因子
        for i = 1:np
            r1 = rand;
            r2 = rand;
            v(i, 1) = w * v(i, 1) + c1 * r1 * (pbestx(i) - x(i)) + c2 * r2 * (gbestx - x(i));
            x(i) = x(i) + v(i, 1);
            if x(i) < bounds(1, 1)
                x(i) = bounds(1, 1);
                v(i, 1) = -v(i, 1);
            elseif x(i) > bounds(2, 1)
                x(i) = bounds(2, 1);
                v(i, 1) = -v(i, 1);
            end

            r1 = rand;
            r2 = rand;
            v(i, 2) = w * v(i, 2) + c1 * r1 * (pbesty(i) - y(i)) + c2 * r2 * (gbesty - y(i));
            y(i) = y(i) + v(i, 2);
            if y(i) < bounds(1, 2)
                y(i) = bounds(1, 2);
                v(i, 2) = -v(i, 2);
            elseif y(i) > bounds(2, 2)
                y(i) = bounds(2, 2);
                v(i, 2) = -v(i, 2);
            end

            f = objfun(x(i), y(i));
            if f < pbestf(i)
                pbestf(i) = f;
                pbestx(i) = x(i);
                pbesty(i) = y(i);
            end
        end

        [minf, ind] = min(pbestf);
        if minf < gbestf
            gbestf = minf;
            gbestx = pbestx(ind);
            gbesty = pbesty(ind);
        end
    end

    % 返回最优解及其函数值
    xopt = gbestx;
    yopt = gbesty;
    fopt = gbestf;
end

2. Shubert函数

function f = Shubert(x, y)
    A = 0;
    B = 0;
    for i = 1:5
        A = A + i * cos((i + 1) * x + i);
        B = B + i * cos((i + 1) * y + i);
    end
    f = A * B;
end

3. 主程序

clear all;
clc;

objfun = @Shubert; % 目标函数
np = 100; % 粒子数
maxiter = 100; % 迭代次数
bounds = [-10, -10; 10, 10]; % 搜索范围

% 使用PSO算法求解Shubert函数的最优解
[xopt, yopt, fopt] = PSO(objfun, np, maxiter, bounds);

% 输出最优解及其函数值
fprintf('最优解为：x = %f, y = %f
', xopt, yopt);
fprintf('最优解的函数值为：%f
', fopt);

% 找到所有最优解
tol = 1e-6; % 容差
x = linspace(bounds(1,1), bounds(2,1), 200);
y = linspace(bounds(1,2), bounds(2,2), 200);
[X, Y] = meshgrid(x, y);
Z = objfun(X, Y);
[row, col] = find(Z <= min(Z(:)) + tol);
fprintf('Shubert函数的最小值为：%f
', min(Z(:)));
fprintf('Shubert函数的所有最优解：
');
for i = 1:length(row)
    fprintf('x = %f, y = %f
', X(row(i), col(i)), Y(row(i), col(i)));
end

% 绘制Shubert函数的等高线图
figure;
contour(X, Y, Z, 20);
hold on;
plot(xopt, yopt, 'r*', 'MarkerSize', 10);
xlabel('x');
ylabel('y');
title('Shubert函数的等高线图');
legend('Shubert函数', '最优解');

4. 运行结果

程序运行后，会输出找到的最优解以及所有最优解的坐标。同时，会绘制Shubert函数的等高线图，用红色星号标记出找到的最优解位置。

5. 代码说明

PSO算法函数：该函数实现了粒子群优化算法，用于求解目标函数的最优解。
Shubert函数：该函数是目标函数，其定义为：f(x, y) = (∑_(i=1)^5 i * cos((i + 1) * x + i)) * (∑_(i=1)^5 i * cos((i + 1) * y + i))
主程序：该程序首先定义目标函数、粒子数、迭代次数和搜索范围，然后调用PSO算法函数求解最优解。最后，程序找到所有最优解并输出，并绘制Shubert函数的等高线图，展示最优解的位置。

6. 注意事项

粒子数、迭代次数和搜索范围会影响算法的效率和结果。需要根据具体问题进行调整。
容差tol用来判断两个解是否相等。需要根据精度要求进行调整。
Shubert函数是一个多峰函数，因此可能存在多个最优解。程序找到的所有最优解可能并不完全，但可以作为参考。

希望本程序能够帮助您了解粒子群优化算法以及如何使用它求解优化问题。

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