求复合函数 z=e^u*sinv 的偏导数 z(x) 和 z(y)

根据链式法则，有：

$\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}u}\cdot\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}+\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}v}\cdot\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}$

$\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}y}=\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}v}\cdot\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}y}$

首先求出各个偏导数：

$\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}u}=e^u\sin v$

$\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}v}=e^u\cos v$

$\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}=2x$

$\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}=1$

$\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}y}=1$

代入公式得：

$\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}x}=2xe^{x^2}\sin(x+y)+e^{x^2}\cos(x+y)$

$\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}y}=e^{x^2}\cos(x+y)$

因此，$z(x)$ 和 $z(y)$ 分别为：

$z(x)=e^{x^2}\sin(x+y)+C_1$

$z(y)=e^{x^2}\sin(x+y)+C_2$（其中 $C_1$ 和 $C_2$ 为常数）