求解复合函数 z(u) 与 z(v) 的偏导数

首先求出 z 对 x 的偏导数：

∂z/∂x = ∂/∂x(ln(e^x+y)) = 1/(e^x+y) * ∂/∂x(e^x+y) = 1/(e^x+y) * (e^x) = e^x/(e^x+y)

然后根据链式法则，可以得到：

∂z/∂u = ∂z/∂x * ∂x/∂u = e^x/(e^x+y) * v

将 x 和 y 用 u 和 v 表示出来：

z = ln(e^x+y) = ln(e^(uv)+(u-v)) = ln(e^(uv)(1+v/u)+u(1-v/u)) = ln(u*(e^(uv+v)+1-v)/u) = ln(e^(uv+v)+1-v)

因此：

∂z/∂u = e^(uv+v)/(e^(uv+v)+1-v) * (v+u*v)

同理，可以求出：

∂z/∂v = e^(uv+v)/(e^(uv+v)+1-v) * (u-u*v-1)

因此：

z(u) = ∫(e^x/(e^x+y) * v) du = ∫(e^(uv)/(e^(uv)+(u-v)) * v) du

z(v) = ∫(e^(uv+v)/(e^(uv+v)+1-v) * (u-u*v-1)) du