信用评分卡优化问题：使用 QUBO 模型寻找最佳卡和阈值

问题1建模思路：

本题是一个典型的优化问题，需要在100个信用评分卡中找出1张及其对应阈值，使最终收入最多。因为每张卡可设置10种阈值之一，因此可以将每张卡的10种阈值作为选择变量。设第i张卡选择第j种阈值对应的收入为$R_{i,j}$，则问题1可以建模为以下的目标函数：

$$\max \sum_{i=1}^{100}\sum_{j=1}^{10} R_{i,j}x_{i,j}$$

其中，$x_{i,j}$是0-1选择变量，表示第i张卡是否选择第j种阈值。

另外，由于每张卡只能选择一种阈值，因此需要加入约束条件：

$$\sum_{j=1}^{10}x_{i,j}=1, \forall i \in [1,100]$$

该约束条件表示第i张卡只能选择一种阈值。

问题1转化为QUBO形式：

为了将问题1转化为QUBO形式，需要将目标函数和约束条件转化为二进制变量。首先，可以将选择变量$x_{i,j}$转化为是否选择变量$y_{i,j,k}$，其中：

$$\y_{i,j,k}=\left{\begin{aligned}\1, & x_{i,j}=1 \text{且} k=j \\0, & \text{其他}\end{aligned}\right.$$

表示第i张卡选择第j种阈值的同时，也表示第i张卡选择了第k种阈值。同时，由于$x_{i,j}$和$y_{i,j,k}$是等价的，因此目标函数可以写成：

$$\max \sum_{i=1}^{100}\sum_{j=1}^{10}\sum_{k=1}^{10} R_{i,j}y_{i,j,k}$$

接下来，需要将约束条件转化为二进制变量。可以使用约束满足方法（CSP）来实现该转化。具体地，将每个约束条件拆分成多个子约束条件，每个子约束条件只包含两个选择变量，然后将每个子约束条件转化为一个子目标函数，对于每个子目标函数，如果选择变量的取值不满足子约束条件，则子目标函数的值为一个较大的常数，否则子目标函数的值为0。最后，将所有子目标函数相加得到QUBO目标函数。由于本题中每个约束条件都是线性约束，因此可以使用线性约束满足方法（LSP）来将其转化为子目标函数。

对于本题中的约束条件：

$$\sum_{j=1}^{10}x_{i,j}=1, \forall i \in [1,100]$$

可以拆分成1000个子约束条件，每个子约束条件只包含两个选择变量：

$$x_{i,j}+x_{i',j'} \leq 1, \forall i \neq i', j,j' \in [1,10]$$

然后将每个子约束条件转化为一个子目标函数：

$$f_{i,j,i',j'}=\left{\begin{aligned}\M, & x_{i,j}+x_{i',j'} > 1 \\0, & \text{其他}\end{aligned}\right.$$

其中，$M$是一个较大的正数。

最后，将所有子目标函数相加得到QUBO目标函数：

$$\max \sum_{i=1}^{100}\sum_{j=1}^{10}\sum_{k=1}^{10} R_{i,j}y_{i,j,k} - \sum_{i=1}^{100}\sum_{i'=1}^{100}\sum_{j=1}^{10}\sum_{j'=1}^{10}f_{i,j,i',j'}$$

其中，$y_{i,j,k}$和$f_{i,j,i',j'}$的具体取值可以根据上面的定义进行计算。

QUBO目标函数的求解：

可以使用D-Wave量子计算机或者经典计算机上的QUBO求解器来求解QUBO目标函数，得到最优解对应的信用评分卡和阈值。