x/(3+2x-x^2)^2 的积分计算详解

利用部分分式分解，将分母拆分为两个一次式的乘积：/n/n$$/n//frac{x}{(3+2x-x^2)^2}=//frac{A}{3+2x-x^2}+//frac{B}{(3+2x-x^2)^2}/n$$/n/n解出系数A和B：/n/n$$A=//frac{3}{4},/ B=-//frac{1}{4}$$/n/n将分式分解式代入原式，得到：/n/n$$/n//begin{aligned}/n//int//frac{x}{(3+2x-x^2)^2}dx&=//int//frac{3}{4}//frac{1}{3+2x-x^2}dx-//int//frac{1}{4}//frac{1}{(3+2x-x^2)^2}dx//&=//frac{3}{4}//int//frac{1}{(x-1)^2+4}dx-//frac{1}{4}//int//frac{(2-x)}{(3+2x-x^2)^2}dx/n//end{aligned}/n$$/n/n对第一个积分，令$t=x-1$，则有：/n/n$$/n//int//frac{1}{(x-1)^2+4}dx=//frac{1}{2}//arctan//frac{x-1}{2}+C_1/n$$/n/n对第二个积分，令$u=3+2x-x^2$，则有：/n/n$$/n//begin{aligned}/n//int//frac{(2-x)}{(3+2x-x^2)^2}dx&=-//frac{1}{2}//int//frac{1}{u^2}d(3+2x-x^2)//&=-//frac{1}{2}//int//frac{1}{u^2}(2-2x)dx//&=//frac{1}{u}-//frac{1}{2}//ln|u|+C_2/n//end{aligned}/n$$/n/n将$u=3+2x-x^2$代入得：/n/n$$/n//begin{aligned}/n//int//frac{(2-x)}{(3+2x-x^2)^2}dx&=//frac{1}{3+2x-x^2}-//frac{1}{2}//ln|3+2x-x^2|+C_2//&=//frac{1}{4}//left(//frac{1}{x-1}-//frac{1}{x+3}//right)-//frac{1}{2}//ln|3+2x-x^2|+C_2/n//end{aligned}/n$$/n/n因此，原式的积分结果为：/n/n$$/n//frac{3}{8}//arctan//frac{x-1}{2}+//frac{1}{8}//left(//frac{1}{x-1}-//frac{1}{x+3}//right)-//frac{1}{4}//ln|3+2x-x^2|+C/n$$/n/n其中，$C=C_1+C_2$是积分常数。