线性方程组同解条件及 Gauss 消元法的正确性解析

两个线性方程组同解的充分必要条件是它们的系数矩阵和增广矩阵行等价。也就是说，它们可以通过一系列行变换（交换行、某一行乘以非零常数、某一行加上另一行的若干倍）相互转化得到。
Gauss 消元法解线性方程组的正确性可以从两个方面来理解：

矩阵乘法：将系数矩阵进行初等行变换，可以得到一个上三角矩阵，这个上三角矩阵的对角线上的元素就是解向量。因为初等行变换相当于左乘一个初等矩阵，所以系数矩阵经过一系列初等行变换后，相当于左乘一系列初等矩阵，最终得到的上三角矩阵就是系数矩阵左乘这些初等矩阵的结果。因为初等矩阵是可逆的，所以这些初等矩阵的乘积也是可逆的，也就是说这些初等矩阵的逆矩阵也存在。因此，我们可以左乘这些初等矩阵的逆矩阵，将上三角矩阵转化为对角矩阵，得到的对角矩阵对角线上的元素即为解向量。
线性方程组的‘生成’：线性方程组的解向量可以表示为系数矩阵的列向量的线性组合，即 Ax=b，其中 A 是系数矩阵，x 是解向量，b 是右侧常数向量。而 Gauss 消元法实际上就是对系数矩阵进行一系列初等行变换，将系数矩阵转化为一个上三角矩阵，这个上三角矩阵的对角线上的元素就是解向量。因为初等行变换不改变矩阵的列空间，所以经过初等行变换后的系数矩阵与原系数矩阵有相同的列空间，也就是说解向量不变。因此，我们可以利用 Gauss 消元法得到系数矩阵的上三角矩阵，然后通过回代求解出解向量。