线性方程组公共解求解方法：消元法详解及实例

要求两个线性方程组的公共解，可以采用消元法或矩阵运算法。这里以消元法为例。

假设有以下两个线性方程组：

$$\begin{cases}\2x+y+z=7\3x+2y+z=11\4x+3y+2z=15\end{cases}$$

$$\begin{cases}\x+y+z=6\2x-3y+4z=5\3x-4y+5z=4\end{cases}$$

首先将它们转化为增广矩阵的形式：

$$\begin{bmatrix}\2 & 1 & 1 & 7\3 & 2 & 1 & 11\4 & 3 & 2 & 15\end{bmatrix}$$

$$\begin{bmatrix}\1 & 1 & 1 & 6\2 & -3 & 4 & 5\3 & -4 & 5 & 4\end{bmatrix}$$

对第一个矩阵进行高斯消元，得到行阶梯矩阵：

$$\begin{bmatrix}\2 & 1 & 1 & 7\0 & \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2}\0 & 0 & \frac{5}{2} & \frac{5}{2}\end{bmatrix}$$

对第二个矩阵进行高斯消元，得到行阶梯矩阵：

$$\begin{bmatrix}\1 & 1 & 1 & 6\0 & -5 & 2 & -7\0 & 0 & -\frac{1}{5} & \frac{33}{5}\end{bmatrix}$$

由于最后一行的第三个元素是负数，因此这个方程组无解。

对于第一个方程组，从上到下依次求解：

$$\begin{cases}\2x+y+z=7\\frac{1}{2}y-\frac{1}{2}z=\frac{1}{2}\\frac{5}{2}z=\frac{5}{2}\end{cases}$$

解得 $x=1,y=1,z=1$。

因此，这两个方程组的公共解为 $(1,1,1)$。