如何构造线性方程组以满足给定向量组为解：齐次和非齐次情况

假设给定一个向量组 {'v_1,'v_2,'cdots,'v_n'}, 我们想构造一个齐次线性方程组，使得其基础解系恰好可以是该向量组。

我们可以将这些向量按列排成一个矩阵 A=['v_1,'v_2,'cdots,'v_n']，然后构造一个齐次线性方程组 Ax='0'，其中 x 是未知向量。根据线性代数的基本理论，该方程组的解空间就是 A 的零空间，也就是该向量组的线性空间，因此其基础解系就是该向量组。

对于非齐次情形，我们可以将其转化为齐次情形进行求解。假设我们要解 Ax='b'，其中 'b' 是已知向量。我们可以构造一个新的增广矩阵 [A|'b']，然后对其施行高斯消元算法求解，得到一个等价的增广矩阵 [R|'c']，其中 R 是一个简化行阶梯形矩阵，'c' 是新的向量。根据线性代数的基本理论，Ax='b' 有解当且仅当 'c' 在 A 的列空间中，也就是 'c' 可以被 {'v_1,'v_2,'cdots,'v_n'} 线性表出。因此，我们可以将 Ax='b' 转化为 Ax='0'，然后在其解空间中找到一个特解 'x_0'，再加上其对应的齐次方程的通解，即可得到 Ax='b' 的通解。

总之，反求线性方程组的问题可以转化为求解向量组的线性空间或者将非齐次情形转化为齐次情形进行求解。