线性方程组反求：如何构造基础解系为指定向量组的齐次方程组

假设我们要构造一个齐次线性方程组，使得其基础解系恰好为向量组 {'(1 \ 1)', '(2 \ 0)' }。我们可以按照以下步骤进行构造：

将向量组作为系数矩阵的列向量，得到矩阵 A = {'(1 & 2 \ 1 & 0)' }。
求出 A 的零空间，即解齐次线性方程组 Ax = 0。由于基础解系的个数等于 A 的列数减去其秩，因此我们需要求出 A 的秩。通过高斯消元可以得到 A 的行简化阶梯形式为 {'(1 & 2 \ 0 & -2)' }，因此 A 的秩为 2。由于 A 的列数为 2，因此 Ax = 0 的基础解系应该有 2 - 2 = 0 个向量，即只有零向量。因此我们可以直接得到齐次线性方程组为：

$$ \begin{pmatrix}1 & 2 \ 1 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1 \ x_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 \ 0\end{pmatrix} $$

验证 {'(1 \ 1)', '(2 \ 0)' } 确实是该齐次线性方程组的基础解系。我们可以将每个向量代入方程组中，得到：

$$ \begin{pmatrix}1 & 2 \ 1 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 \ 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3 \ 1\end{pmatrix} \quad \text{和} \quad \begin{pmatrix}1 & 2 \ 1 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2 \ 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4 \ 2\end{pmatrix} $$

可以发现，两个向量都满足方程组，且它们线性无关，因此它们是该齐次线性方程组的基础解系。

对于非齐次情形，我们可以将非齐次项作为方程组的右端向量，得到形如 Ax = b 的线性方程组。如果 b 不在 A 的列空间中，即 b 不可表示为 A 的列向量的线性组合，那么该方程组无解。否则，我们可以通过高斯消元求解 Ax = b，得到其通解 x_p，然后求出 Ax = 0 的基础解系 {'v_1, v_2, \cdots, v_k' }。那么 Ax = b 的通解即为 x_p + c_1v_1 + c_2v_2 + \cdots + c_kv_k，其中 c_1, c_2, \cdots, c_k 为任意常数。