用拉格朗日乘数法证明Young不等式

Young不等式表述为：对于任意的$a,b //geq 0$和$p,q>1$，有/n$ab //leq //frac{a^p}{p}+//frac{b^q}{q}$/n/n我们考虑将其转化为极值问题。设$f(x)=//frac{x^p}{p}+//frac{y^q}{q}-xy$，则我们要证明的是当$a,b$固定时，$f(a,b)$取得最小值$0$。注意到函数$f(x)$是二元函数，我们需要使用拉格朗日乘数法来求解。/n/n设$g(x,y)=x+y-c$，其中$c$是一个常数，考虑求解以下方程组的解：/n$//begin{cases}//nabla f(x,y)=//lambda//nabla g(x,y)////g(x,y)=0//end{cases}$/n/n其中$//nabla f(x,y)=(px^{p-1}-y,/ qy^{q-1}-x)$是$f(x,y)$的梯度，$//nabla g(x,y)=(1,1)$是$g(x,y)$的梯度，$//lambda$是拉格朗日乘数。/n/n将$//nabla f(x,y)=//lambda//nabla g(x,y)$代入上式，得到以下方程组的解：/n$//begin{cases}px^{p-1}-y=//lambda////qy^{q-1}-x=//lambda////x+y=c//end{cases}$/n/n解得$x=//left(//frac{p}{p+q}//right)^{p/(p+q)}a,/ y=//left(//frac{q}{p+q}//right)^{q/(p+q)}b$，代入$f(x,y)$得到/n$f(a,b)=//frac{1}{p}//left(//frac{p}{p+q}//right)^{p/(p+q)}a^p+//frac{1}{q}//left(//frac{q}{p+q}//right)^{q/(p+q)}b^q-ab$/n/n我们需要证明$f(a,b)//geq 0$，即/n$//frac{1}{p}//left(//frac{p}{p+q}//right)^{p/(p+q)}a^p+//frac{1}{q}//left(//frac{q}{p+q}//right)^{q/(p+q)}b^q//geq ab$/n/n注意到左边的两项可以看成是$a^p$和$b^q$的加权平均，因此我们可以尝试使用加权平均不等式（也称为琴声不等式）。/n/n设$x=a^{//frac{p}{p+q}},/ y=b^{//frac{q}{p+q}}$，则$//frac{1}{p}+//frac{1}{q}=1$，因此有/n$//left(//frac{p}{p+q}//right)^{p/(p+q)}a^p+//left(//frac{q}{p+q}//right)^{q/(p+q)}b^q=x^{//frac{p+q}{p}}+y^{//frac{p+q}{q}}$/n/n根据加权平均不等式，有/n$x^{//frac{p+q}{p}}+y^{//frac{p+q}{q}}//geq //left(//frac{p+q}{p}//right)^{//frac{p}{p+q}}x+//left(//frac{p+q}{q}//right)^{//frac{q}{p+q}}y$/n/n代入$x=a^{//frac{p}{p+q}},/ y=b^{//frac{q}{p+q}}$，得到/n$//left(//frac{p}{p+q}//right)^{p/(p+q)}a^p+//left(//frac{q}{p+q}//right)^{q/(p+q)}b^q//geq a^{//frac{p}{p+q}}b^{//frac{q}{p+q}}//left(//frac{p+q}{p}//right)^{//frac{p}{p+q}}+//left(//frac{p+q}{q}//right)^{//frac{q}{p+q}}$/n/n因为$//frac{p}{p+q}+//frac{q}{p+q}=1$，所以$//left(//frac{p+q}{p}//right)^{//frac{p}{p+q}}//left(//frac{p+q}{q}//right)^{//frac{q}{p+q}}=1$，代入上式得到/n$//left(//frac{p}{p+q}//right)^{p/(p+q)}a^p+//left(//frac{q}{p+q}//right)^{q/(p+q)}b^q//geq a^{//frac{p}{p+q}}b^{//frac{q}{p+q}}+//frac{1}{p+q}a^p+//frac{1}{p+q}b^q$/n/n因为$a,b//geq 0$，所以$//frac{1}{p+q}a^p+//frac{1}{p+q}b^q//geq ab$，代入上式得到/n$//left(//frac{p}{p+q}//right)^{p/(p+q)}a^p+//left(//frac{q}{p+q}//right)^{q/(p+q)}b^q//geq 2ab$/n/n因此$f(a,b)//geq 0$，当且仅当$a,b//geq 0$时等号成立。证毕。