最小二乘平差算法公式及求导详解

最小二乘平差算法公式如下：

设有n个未知量x1, x2, ..., xn，m个方程f1, f2, ..., fm，其中fi=f(xi), i=1,2,...,m。

则最小二乘平差问题就是求解使得平差后误差的平方和最小的未知量x1, x2, ..., xn的值。

平差后误差的平方和为：

S(x1, x2, ..., xn) = ∑(fi - fi')^2，i=1,2,...,m

其中，fi'为已知量，即fi' = f(xi')，xi'为已知数值。

最小二乘平差算法的求解过程，可以通过求解平差后误差的平方和的一阶偏导数为0的方程组得到。

对S(x1, x2, ..., xn)求偏导数，可得：

∂S/∂xj = ∑2(fi - fi') * ∂fi/∂xj，i=1,2,...,m

将∂S/∂xj置为0，得到方程组：

∑(fi - fi') * ∂fi/∂xj = 0，i=1,2,...,m，j=1,2,...,n

这样就可以用高斯-牛顿法等迭代算法求解该方程组，得到x1, x2, ..., xn的值，从而完成最小二乘平差的求解过程。