已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面AA1B1B为正方形，求二面角的正弦值最小值

(1) 设 'BF' 与 'DE' 的交点为 'G'，连接 'AG'、'BG'，则 'AG' 与 'BF' 均垂直于 'A1B1'，故 'AG' // 'BF'，又 'AG' // 'DE'，因此 'BF' // 'DE'，即 'BF' ⊥ 'DE'。

(2) 设 'BB1'= 'CC1'= x，则 'AA1'= x根号2，'BF'= 根号(x^2-1)，'DE'= 根号(2^2+x^2-2x根号2)，'EF'= 根号(x^2-1)，'DF'= x根号2-1。由余弦定理可得：

cos ∠BFE = (BF^2+EF^2-BE^2)/(2BF*EF)=(x^2-2)/(2(x^2-1))

cos ∠DFE = (DF^2+EF^2-DE^2)/(2DF*EF)=(3x^2-2x根号2-7)/(2(2x根号2-2))

由于 ∠BFE 为锐角，所以 sin ∠BFE = 根号(1-cos^2 ∠BFE)，同理可得 sin ∠DFE = 根号(1-cos^2 ∠DFE)。因此，面 'BB1C1C' 与面 'DFE' 所成的二面角的正弦值为：

sin θ = sin(∠BFE + ∠DFE) = sin ∠BFE cos ∠DFE + cos ∠BFE sin ∠DFE

将上面的式子代入，化简可得：

sin θ = (根号2x^3-2x根号2)/(2(x^2-1)根号(3x^4-4x^3根号2+14x^2-8x根号2-6))

注意到 x>1，所以 3x^4-4x^3根号2+14x^2-8x根号2-6>0，因此 sin θ 与 (根号2x^3-2x根号2)/(x^2-1) 同号。对于分式 (根号2x^3-2x根号2)/(x^2-1)，可以求导得到极值点 x=2。因此，当 'B1D'=2 时，sin θ 达到最小值 根号2/3。