线性代数：Ax=0 基础解系与矩阵列向量组的正交性及线性无关性

设基础解系为{x1, x2, ..., xn}，其中 xi 为列向量。由于 Ax=0，所以有 Axi=0，即每个基础解都是 Ax=0 的一个解。又由于基础解系是线性无关的，所以任意向量 c1x1+c2x2+...+cnxn=0 的解只能是 c1=c2=...=cn=0，即基础解系中的向量线性无关。

对于任意 i 和 j，i≠j，有 xi' Aj=0，即 xi 与 Aj 的内积为 0。因为 Aj 是矩阵 A 的第 j 列，所以 xi 与 A 的第 j 列正交。由于 i 和 j 的任意性，所以基础解系中的任意两个向量都是正交的。

现在考虑将基础解系{x1, x2, ..., xn} 和矩阵 A 的列向量组合并成一个矩阵 B=[A x1 x2 ... xn]。我们需要证明，添加上基础解系中的向量后，B 的列向量仍然线性无关。

假设存在一组不全为 0 的系数 c0, c1, c2, ..., cn，使得 c0A+c1x1+c2x2+...+cnxn=0。由于基础解系{x1, x2, ..., xn} 是 Ax=0 的解，所以 c1x1+c2x2+...+cnxn 也是 Ax=0 的解，即 A(c1x1+c2x2+...+cnxn)=0。因此，我们有 c0A=-c1x1-c2x2-...-cnxn。

现在考虑向量 c0A 在矩阵 B 中的表示。由于 c0A=-c1x1-c2x2-...-cnxn，所以 c0A 的表示就是 [c0 -c1 -c2 ... -cn] 的转置乘以矩阵 B。因为 c0, c1, c2, ..., cn 不全为 0，所以这个表示不是全零向量。因此，矩阵 B 的列向量不是线性无关的，这与我们的假设矛盾。所以，添加上基础解系中的向量后，B 的列向量仍然线性无关。