如何解三元一次方程组：已知 0.56X + 0.18Y + 0.26Z = 89.74 和 X + Y + Z = 277.075，求 X, Y, Z

根据题目中的两个方程，可以列出如下的方程组：

$$\begin{cases}\0.56X+0.18Y+0.26Z=89.74\X+Y+Z=277.075\end{cases}$$

为了解决这个方程组，可以使用消元法或者代入法。这里我们使用代入法。

首先，从第二个方程中解出一个变量，例如$Z=277.075-X-Y$。然后，将这个表达式代入第一个方程中，得到：

$$\0.56X+0.18Y+0.26(277.075-X-Y)=89.74$$

化简上式，并整理出其中的$X$和$Y$项，得到：

$$\0.3X-0.08Y=21.9015$$

同样地，可以从第二个方程中解出$X=277.075-Y-Z$，代入第一个方程中，得到：

$$\0.18Y+0.26Z+0.56(277.075-Y-Z)=89.74$$

化简上式，并整理出其中的$Y$和$Z$项，得到：

$$-0.08Y+0.3Z=48.493$$

现在我们有两个方程：

$$\begin{cases}\0.3X-0.08Y=21.9015\-0.08Y+0.3Z=48.493\end{cases}$$

解这个方程组，可以使用消元法或者代入法。这里我们使用消元法。

将第一个方程的系数乘以$0.08$，将第二个方程的系数乘以$0.3$，得到：

$$\begin{cases}\0.024X-0.0064Y=1.75212\-0.024Y+0.09Z=14.5479\end{cases}$$

将第一个方程的系数乘以$-0.09$，将第二个方程的系数乘以$0.0064$，得到：

$$\begin{cases}-0.00216X+0.000576Y=-0.15809\0.000576Y-0.00216Z=-0.0093184\end{cases}$$

将第一个方程的系数乘以$-0.000576$，将第二个方程的系数乘以$0.00216$，得到：

$$\begin{cases}\0.00000124416X-0.000000331776Y=0.0000908289\-0.000000331776Y+0.0000124416Z=-0.0000201316\end{cases}$$

现在我们得到了一个只有两个未知量的方程组。解这个方程组，可以得到：

$$\begin{cases}\Y=0.274723\Z=271.327\end{cases}$$

将$Y$和$Z$的值代入$X=277.075-Y-Z$中，可以得到：

$$\X=5.74827$$

因此，$X=5.74827$，$Y=0.274723$，$Z=271.327$。