非线性方程求解方法实验：逐步搜索法、二分法和迭代法

一、实验目的：

掌握逐步搜索法求解非线性方程根区间
掌握二分法求解非线性方程根的近似解
掌握迭代法求解非线性方程的解

二、实验平台：

计算机
MATLAB 集成环境

三、实验内容：

(1) 用逐步搜索法求方程 f(x) = x^3 - x - 1 = 0 的一个有根区间，要求有根区间范围不得超过 0.1。 (2) 用二分法求解方程 f(x) = 1 - x - sin(x) = 0 在区间 [0, 1] 内的一个实根，使误差不大于 0.5 * 10^-4。 (3) 用迭代法求解方程 f(x) = x^3 - x^2 - 1 = 0 在区间 [1.4，1.6] 上的根，要求保留至少 5 位有效数字。

实验步骤：

(1) 逐步搜索法求解非线性方程根区间步骤：

Step 1：定义函数 f(x) = x^3 - x - 1 Step 2：设置搜索区间范围 x = [a, b]，此时 a = 0，b = 1，设步长为 dx = 0.01 Step 3：从 a 开始逐步增加 dx，计算 f(a)，判断是否与 f(a + dx) 符号相反，若是则 a + dx 即为所求的有根区间左端点，若不是则继续增加 dx，直到找到符号相反的 f(x) Step 4：从 b 开始逐步减少 dx，计算 f(b)，判断是否与 f(b - dx) 符号相反，若是则 b - dx 即为所求的有根区间右端点，若不是则继续减少 dx，直到找到符号相反的 f(x) Step 5：得到有根区间 [a + dx, b - dx]

(2) 二分法求解非线性方程根步骤：

Step 1：定义函数 f(x) = 1 - x - sin(x) Step 2：设置初始区间 [a, b]，此时 a = 0，b = 1 Step 3：计算中点 c = (a + b) / 2，判断 f(c) 与 0 的符号，若 f(c) 与 f(a) 符号相同，则将区间左端点 a 更新为 c，否则将区间右端点 b 更新为 c Step 4：重复 Step 3，直到区间长度小于等于要求的误差范围，例如 0.5 * 10^-4 Step 5：得到一个近似解

(3) 迭代法求解非线性方程根步骤：

Step 1：定义函数 f(x) = x^3 - x^2 - 1 Step 2：选取初始值 x0 = 1.5 Step 3：构造迭代公式：x(i + 1) = g(x(i))，选择合适的 g(x) 函数，使得迭代公式收敛于方程的根 Step 4：计算 x1 = g(x0)，x2 = g(x1)，直到收敛，即 |f(x(i))| < 要求的误差范围，例如 10^-5 Step 5：得到一个近似解，保留至少 5 位有效数字

注意：在使用迭代法求解非线性方程时，需要注意迭代公式的选择和初始值的选取，否则可能会导致无法收敛或收敛速度非常慢。