证明holder不等式

Holder不等式是一种在数学上广泛使用的不等式，其表述如下：

对于任意的$p,q>1$和实数$a_1,a_2,\dots,a_n$和$b_1,b_2,\dots,b_n$，有如下不等式成立：

$$(a_1b_1+a_2b_2+\cdots+a_nb_n)^{\frac{1}{p}}(a_1^qb_1^q+a_2^qb_2^q+\cdots+a_n^qb_n^q)^{\frac{1}{q}}\geqslant \sum_{i=1}^n a_ib_i$$

证明：

考虑函数$f(x)=x^p$和$g(x)=x^q$，根据凸函数的性质，有

$$\frac{a_i}{\left(\sum_{i=1}^na_i^q\right)^{\frac{1}{q}}}\leqslant \frac{1}{q}a_i^q+\frac{1}{p}b_i^p\frac{1}{\left(\sum_{i=1}^nb_i^p\right)^{\frac{1}{p}}}$$

两边同时乘以$b_i$并对$i$求和，得到

$$\sum_{i=1}^n\frac{a_ib_i}{\left(\sum_{i=1}^na_i^q\right)^{\frac{1}{q}}}\leqslant \frac{1}{q}\sum_{i=1}^na_i^qb_i+\frac{1}{p}\left(\sum_{i=1}^nb_i^p\right)^{\frac{1}{p}}\left(\sum_{i=1}^na_i^p\right)^{\frac{1}{q}}$$

两边同时乘以$\left(\sum_{i=1}^na_i^q\right)^{\frac{1}{p}}$，得到

$$(a_1b_1+a_2b_2+\cdots+a_nb_n)^{\frac{1}{p}}(a_1^qb_1^q+a_2^qb_2^q+\cdots+a_n^qb_n^q)^{\frac{1}{q}}\geqslant \sum_{i=1}^n a_ib_i$$

证毕。