根据利息理论，已知 a(t)=1/2t+1/5\sqrt{t}+1，求:(1)对应的 a(t);(2)I_{3};(3)i_{4}

根据利息理论，a(t)表示t年后本金的价值与原本的比例，可以表示为：

a(t) = (1 + r)^t

其中r为年利率。因此，要求出对应的a(t)，需要先求出年利率r。

根据题意，有：

a(t) = 1/2t + 1/5√t + 1

将其代入上式，得到：

1/2t + 1/5√t + 1 = (1 + r)^t

两边取对数，得到：

ln(1/2t + 1/5√t + 1) = t ln(1 + r)

再对两边求导，得到：

(1/2t + 1/10√t)/(1/2t + 1/5√t + 1) = ln(1 + r)

化简后得到：

r = e^(1/2t + 1/10√t) - 1

代入原式，得到：

a(t) = (1 + e^(1/2t + 1/10√t) - 1)^t

(2) 根据定理，I_n = (a^n - 1) / r，其中a为本金与利息的总倍数，r为年利率。因此，有：

I_3 = (a^3 - 1) / r = (a^3 - 1) / (e^(1/2t + 1/10√t) - 1)

(3) 根据定理，i_n = (a^n - 1) / n，其中a为本金与利息的总倍数，n为年数。因此，有：

i_4 = (a^4 - 1) / 4

将a(t)代入，得到：

i_4 = (1 + e^(2t + 2/5√t) - 1)^4 / 4