根据利息理论，定义该投资在时刻t的积累值为累计函数a(t)；定义总量函数A(t)，本金为k的投资在时刻t大于或等于0时的积累值（A(t)=k*a(t)）。已知 A(t)=2t+\sqrt{t}+5，求:(1)对应的 a(t);(2)I_{3};(3)i_{4}

(1) 根据定义，有：

a(t) = A(t)/k = (2t + √t + 5)/k

(2) 求解 I3 需要用到复合函数求导法则：

I3 = ∫(0,3) a(t) dt = ∫(0,3) (2t + √t + 5)/k dt

令 u = 2t + √t + 5，dv = dt，则 du/dt = 2 + 1/(2√t)，v = t，有：

I3 = [u·v]0,3 - ∫(0,3) v·du/dt dt = (2·3 + √3 + 5)·3/k - ∫(0,3) t·(2 + 1/(2√t)) dt = (13 + 3√3)/k - [t² + 2t√t]0,3 = (13 + 3√3)/k - 9 - 6√3/√3 = (4 - 6√3)/k

(3) 求解 i4 需要用到复合函数求导法则：

i4 = a'(4) = [A'(4)/k] = [4 + 1/(2√4)]/k = (9/4)/k = 9/(4k)