莱布尼茨公式计算圆周率 π：精度控制与逐步逼近

这是一个求解圆周率的问题，可以利用莱布尼茨级数：

π/4 = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - ...

根据莱布尼茨级数的收敛性，当项数越多时，级数的值越接近π/4。因此，只需要计算足够多的项数，就可以得到足够精确的π值。

(1) 直到第 n 项的绝对值小于等于 10^-6 为止求出 π 的值：

设当前项数为 k，循环计算直到第 k 项的绝对值小于等于 10^-6：

pi = 0
sign = 1
k = 1
term = sign / k
while abs(term) >= 1e-6:
    pi += term
    sign = -sign
    k += 2
    term = sign / k
pi *= 4

(2) 直到第 n 项的绝对值小于等于 10^-8 为止求出 π 的值：

同理，只需要将精度改为 10^-8 即可：

pi = 0
sign = 1
k = 1
term = sign / k
while abs(term) >= 1e-8:
    pi += term
    sign = -sign
    k += 2
    term = sign / k
pi *= 4

(3) 尝试逐步减小第 n 项绝对值，但是不要一次减小太多，记录每次得到的 π 的值。

可以采用二分法的思想，每次将项数增加一倍，计算出新的 π 值和旧的 π 值之差，如果差值小于设定的阈值，则认为已经达到了目标精度，否则继续增加项数并计算。

pi_old = 0
pi_new = 0
sign = 1
k = 1
term = sign / k
diff = 1
while abs(diff) > 1e-10:
    pi_old = pi_new
    for i in range(2):
        pi_new += term
        sign = -sign
        k += 2
        term = sign / k
    diff = pi_new - pi_old
pi_new *= 4