线性方程组非零解条件 - 参数a取值范围

求参数a的值，使得该系统有非零解。

首先，我们可以将该线性方程组表示为矩阵形式：

$\begin{pmatrix}a & 1 & 3 \ 1 & a-1 & 1 \ 1 & 1 & a-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1 \ x_2 \ x_3\end{pmatrix}=egin{pmatrix}0 \ 0 \ 0\end{pmatrix}$

接下来，我们需要通过高斯消元法将矩阵转化为行阶梯形式，从而确定该方程组是否有非零解。

将第1行乘以 $\frac{1}{a}$，第2行减去第1行，第3行减去第1行，得到：

$\begin{pmatrix}1 & \frac{1}{a} & \frac{3}{a} \ 0 & a-\frac{a+1}{a} & 1-\frac{3}{a} \ 0 & 1-\frac{1}{a} & a-1-\frac{3}{a}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1 \ x_2 \ x_3\end{pmatrix}=egin{pmatrix}0 \ 0 \ 0\end{pmatrix}$

化简得：

$\begin{pmatrix}1 & \frac{1}{a} & \frac{3}{a} \ 0 & \frac{1}{a^2} & \frac{a-4}{a^2} \ 0 & 0 & \frac{a^2-4a+2}{a^2}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1 \ x_2 \ x_3\end{pmatrix}=egin{pmatrix}0 \ 0 \ 0\end{pmatrix}$

当 $a^2-4a+2\neq 0$ 时，该矩阵的秩为3，且方程组有无穷多组解。此时，存在非零解。因此，我们需要解出 $a^2-4a+2=0$，得到 $a=2\pm\sqrt{2}$。

当 $a=2+\sqrt{2}$ 或 $a=2-\sqrt{2}$ 时，该矩阵的秩为2，且方程组只有零解。此时，不存在非零解。

因此，参数a的取值范围为 $a\in(-\infty,2-\sqrt{2})\cup(2+\sqrt{2},+\infty)$。