十六进制53的二进制表示、有限域GF(2^8)表示及逆元求解

十六进制的53用二进制表示为0101 0011。
十六进制的53用有限域GF(2^8)表示为0001 0101，其中0001表示多项式$x$，0101表示多项式$x^2+1$。
求解十六进制的53在有限域GF(2^8)中的逆元：

首先，我们需要计算出有限域GF(2^8)中的乘法逆元表：

\begin{array}{c|cccccc} \times & 0000 & 0001 & 0010 & 0100 & 1000 & 1100 \ \hline 0000 & - & 0000 & 0000 & 0000 & 0000 & 0000 \ 0001 & 0000 & 0001 & 0010 & 0100 & 1000 & 1100 \ 0010 & 0000 & 0010 & 1100 & 1000 & 0100 & 0011 \ 0100 & 0000 & 0100 & 1000 & 1100 & 0011 & 0101 \ 1000 & 0000 & 1000 & 0100 & 0011 & 1100 & 1001 \ 1100 & 0000 & 1100 & 0011 & 0101 & 1001 & 1010 \ \end{array}

根据乘法逆元的定义，我们需要寻找一个多项式$a(x)$，使得$a(x)\times x^2+1\equiv 1 \pmod{x^3+x+1}$。即，$a(x)\times x^2\equiv x^2 \pmod{x^3+x+1}$。因此，我们可以列出如下的扩展欧几里得算法表格：

\begin{array}{c|c|c|c|c} r_i & r_{i-1} & s_i & s_{i-1} & t_i \ \hline x^3+x+1 & x^2+1 & - & - & - \ x^2+1 & x+1 & x & - & 1 \ x+1 & x & x+1 & 1 & x \ x & 1 & x^2+x+1 & x+1 & x+1 \ 1 & - & 1 & x^2+x & - \ \end{array}

从表格中可以看出，$a(x)=x^2+x$。因此，十六进制的53在有限域GF(2^8)中的逆元为0101 0100，即多项式$x^2+x$。