GF(2^8)中十六进制{53}的逆元求解

首先，GF(2^8)中的多项式为：$f(x)=x^8+x^4+x^3+x+1$，所以GF(2^8)中元素的表示方法为二进制表示方式。

GF(2^8)中元素的加法是异或操作，例如：$01100111\oplus 10101010=11001101$。

GF(2^8)中元素的乘法需要用到有限域上的乘法运算，即模$f(x)$的乘法运算。例如：$11001101\times 00101110=10011010$。

GF(2^8)中的逆元求解可以使用扩展欧几里得算法。

将十六进制的{53}转换为二进制：$01010011$。

将$01010011$表示为多项式形式：$m(x)=x^6+x^4+x^2+x+1$。

GF(2^8)中的不可约多项式：$f(x)=x^8+x^4+x^3+x+1$。

使用扩展欧几里得算法求解逆元：

\begin{array}{c|c|c|c|c} & x & y & s & t \ \hline r_0 & f(x)=x^8+x^4+x^3+x+1 & m(x)=x^6+x^4+x^2+x+1 & 1 & 0 \ r_1 & m(x)=x^6+x^4+x^2+x+1 & f(x) \bmod m(x) = x^2+x+1 & 0 & 1 \ r_2 & x^2+x+1 & m(x) \bmod (x^2+x+1) = x^2+x+1 & 1 & -1 \ r_3 & m(x) \bmod (x^2+x+1) = x^2+x+1 & (x^2+x+1) \bmod (m(x) \bmod (x^2+x+1)) = 1 & -1 & 2 \ \end{array}

因为$r_3=1$，所以$m(x)$在GF(2^8)中的逆元为$(x^2+x+1)\times 2 \bmod f(x)=10111010$。

将$10111010$转换为十六进制：$BA$。

所以，在GF(2^8)中，十六进制的{53}的逆元是十六进制的{BA}。