动态规划算法求解数塔问题 - 实验详解 - 常规

实验五：使用动态规划法来求解数塔问题

数塔问题问题描述

有一个数塔，第一行只有一个数，第二层有两个数……第n层有n个数。从第一层的任意一个数开始，每次可以向下走到下一层相邻的数，求从第一层走到最后一层所经过的数字的最大和。

例如，如果这个数塔如下所示：

则从5开始，最大和为5+8+6+9=28。

动态规划法的适用场合

动态规划法适用于有重叠子问题和最优子结构性质的问题，可以用于求解最优解问题。

动态规划法求解数塔问题的算法伪代码描述

定义状态f[i][j]表示从第i行第j列出发的最大和，则有：

f[i][j] = max(f[i+1][j], f[i+1][j+1]) + a[i][j]

其中a[i][j]表示第i行第j列的值，边界条件为f[n][j] = a[n][j]。

最终的结果即为f[1][1]。

动态规划法求解数塔问题的算法实现

def max_sum(a):
    n = len(a)
    f = [[0] * (n+1) for i in range(n+1)]
    for i in range(n, 0, -1):
        for j in range(1, i+1):
            if i == n:
                f[i][j] = a[i-1][j-1]
            else:
                f[i][j] = max(f[i+1][j], f[i+1][j+1]) + a[i-1][j-1]
    return f[1][1]

实验过程中遇到的技术问题的解决过程和实验总结

在实现过程中，需要注意边界条件的设置，以及数组下标与实际行列数之间的转换。此外，由于动态规划法的时间复杂度与问题规模有关，因此需要注意控制问题规模以避免超时。本题的时间复杂度为O(n^2)。该算法可以求解更大规模的数塔问题，但需要适当增加计算机的内存和处理速度。总的来说，动态规划法是一种非常实用的求解问题的方法，但需要根据具体问题进行调整和优化，才能达到更好的效果。

实验六：动态规划算法求解最长公共子序列问题

最长公共子序列问题描述

给定两个字符串X和Y，求它们的最长公共子序列（Longest Common Subsequence，LCS）。

例如，字符串X = 'ABCBDAB'，Y = 'BDCABA'，它们的最长公共子序列为'BCBA'，长度为4。

动态规划法求解最长公共子序列问题的算法伪代码描述

定义状态c[i][j]表示X的前i个字符和Y的前j个字符的最长公共子序列的长度，则有：

c[i][j] = 0, if i=0 or j=0

c[i][j] = c[i-1][j-1] + 1, if x[i] == y[j]

c[i][j] = max(c[i-1][j], c[i][j-1]), if x[i] != y[j]

最终的结果即为c[m][n]，其中m为X的长度，n为Y的长度。

动态规划法求解最长公共子序列问题的算法实现

def lcs(x, y):
    m = len(x)
    n = len(y)
    c = [[0] * (n+1) for i in range(m+1)]
    for i in range(1, m+1):
        for j in range(1, n+1):
            if x[i-1] == y[j-1]:
                c[i][j] = c[i-1][j-1] + 1
            else:
                c[i][j] = max(c[i-1][j], c[i][j-1])
    return c[m][n]

实验过程中遇到的技术问题的解决过程和实验总结

在实现过程中，需要注意边界条件的设置，以及数组下标与实际字符串位置之间的转换。此外，由于动态规划法的时间复杂度与问题规模有关，因此需要注意控制问题规模以避免超时。本题的时间复杂度为O(m*n)，其中m为X的长度，n为Y的长度。该算法可以求解更大规模的最长公共子序列问题，但需要适当增加计算机的内存和处理速度。总的来说，动态规划法是一种非常实用的求解问题的方法，但需要根据具体问题进行调整和优化，才能达到更好的效果。