动态规划算法：数塔问题求解

实验五：动态规划算法求解数塔问题

1. 数塔问题描述

给定一个数塔，从塔顶到底部有很多条不同的路线，每条路线的数字和是不同的。要求从塔顶到底部的某个位置，使得路径上经过的数字和最大，求这个最大的数字和。

2. 动态规划法的适用场合

动态规划法适用于具有最优子结构和无后效性的问题，即问题的最优解可以由子问题的最优解推导出来，并且子问题的解一旦确定，不会受到后面的决策影响。

3. 动态规划法求解数塔问题的算法伪代码描述

设 dp[i][j] 表示从数塔顶部到第 i 层第 j 个数字的最大数字和，num[i][j] 表示第 i 层第 j 个数字的值，则有：

dp[1][1] = num[1][1];
for i in range(2, n + 1):
    for j in range(1, i + 1):
        dp[i][j] = max(dp[i - 1][j - 1], dp[i - 1][j]) + num[i][j]

max_sum = dp[n][1]
for j in range(2, n + 1):
    if dp[n][j] > max_sum:
        max_sum = dp[n][j]

4. 动态规划法求解数塔问题的算法实现

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int maxn = 1005;
int num[maxn][maxn];
int dp[maxn][maxn];

int main() {
    int n;
    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        for (int j = 1; j <= i; j++) {
            cin >> num[i][j];
        }
    }
    dp[1][1] = num[1][1];
    for (int i = 2; i <= n; i++) {
        for (int j = 1; j <= i; j++) {
            dp[i][j] = max(dp[i - 1][j - 1], dp[i - 1][j]) + num[i][j];
        }
    }
    int ans = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        ans = max(ans, dp[n][i]);
    }
    cout << ans << endl;
    return 0;
}

5. 实验过程中遇到的技术问题的解决过程和实验总结

在实现过程中，需要特别注意数组的下标问题，数组的下标应该从1开始，而不是从0开始。同时，需要注意动态规划的递推公式，即 dp[i][j] = max(dp[i-1][j-1],dp[i-1][j]) + num[i][j]，其中 dp[i][j] 表示从数塔顶部到第 i 层第 j 个数字的最大数字和，num[i][j] 表示第 i 层第 j 个数字的值。最终结果应该是 dp[n][j] 中的最大值，其中 j 的范围为 [1, n]。

本实验通过动态规划算法成功解决了数塔问题，加深了对动态规划算法的理解，并锻炼了代码实现能力。