十六进制53在二进制和有限域GF(2^8)中的表示及其逆元求解

(1) 十六进制的'53'用二进制表示为：01010011。/n/n(2) 有限域GF(2^8)的表示为：GF(2^8)中的多项式域GF(2)[x]模$x^8+x^4+x^3+x+1$，即$GF(2^8)=GF(2)[x]/(x^8+x^4+x^3+x+1)$。/n/n十六进制的'53'用有限域GF(2^8)中表示为：$01010011$，其中每一位表示一个系数。转化成多项式为：$1x^6+1x^4+1x^1+1x^0$。/n/n(3) 求逆元的过程：/n/n由于有限域GF(2^8)中的元素只有256个，因此可以使用穷举法求逆元。设多项式$a(x)=1x^6+1x^4+1x^1+1x^0$，求$a(x)$在GF(2^8)中的逆元$b(x)$。/n/n首先，列出GF(2^8)的加法和乘法表：/n/n加法表：/n/n| + | 00000000 | 00000001 | 00000010 | 00000011 | ... | 11111110 | 11111111 |/n|---|-----------|-----------|-----------|-----------|-----|-----------|-----------|/n| 00000000 | 00000000 | 00000001 | 00000010 | 00000011 | ... | 11111110 | 11111111 |/n| 00000001 | 00000001 | 00000000 | 00000011 | 00000010 | ... | 11111111 | 11111110 |/n| 00000010 | 00000010 | 00000011 | 00000000 | 00000001 | ... | 11111108 | 11111109 |/n| 00000011 | 00000011 | 00000010 | 00000001 | 00000000 | ... | 11111109 | 11111108 |/n| ... | ... | ... | ... | ... | ... | ... | ... |/n| 11111110 | 11111110 | 11111111 | 11111108 | 11111109 | ... | 00000000 | 00000001 |/n| 11111111 | 11111111 | 11111110 | 11111109 | 11111108 | ... | 00000001 | 00000000 |/n/n乘法表：/n/n| * | 00000000 | 00000001 | 00000010 | 00000011 | ... | 11111110 | 11111111 |/n|---|-----------|-----------|-----------|-----------|-----|-----------|-----------|/n| 00000000 | 00000000 | 00000000 | 00000000 | 00000000 | ... | 00000000 | 00000000 |/n| 00000001 | 00000000 | 00000001 | 00000010 | 00000011 | ... | 11111110 | 11111111 |/n| 00000010 | 00000000 | 00000010 | 00000100 | 00000110 | ... | 11111100 | 11111110 |/n| 00000011 | 00000000 | 00000011 | 00000110 | 00000101 | ... | 11111110 | 11111101 |/n| ... | ... | ... | ... | ... | ... | ... | ... |/n| 11111110 | 00000000 | 11111110 | 11111100 | 11111110 | ... | 00001010 | 00000010 |/n| 11111111 | 00000000 | 11111111 | 11111110 | 11111101 | ... | 00000010 | 00000011 |/n/n根据GF(2^8)的乘法逆元的定义，$a(x)$在GF(2^8)中的逆元$b(x)$满足$a(x)b(x)/equiv 1 /pmod{x^8+x^4+x^3+x+1}$。/n/n因此，可以使用扩展欧几里得算法求解$a(x)$和$x^8+x^4+x^3+x+1$的最大公因式，并求出$a(x)$在GF(2^8)中的逆元$b(x)$。/n/n扩展欧几里得算法的过程如下：/n/nStep 1：用较大数$x^8+x^4+x^3+x+1$去除较小数$a(x)$，得到商$q_1(x)$和余数$r_1(x)$，即：/n/n$x^8+x^4+x^3+x+1 = q_1(x)/cdot a(x) + r_1(x)$/n/n其中，$deg(r_1(x))<deg(a(x))$。/n/n由于$x^8+x^4+x^3+x+1$是不可约多项式，因此$deg(r_1(x))<4$。/n/nStep 2：用$r_1(x)$去除$a(x)$，得到商$q_2(x)$和余数$r_2(x)$，即：/n/n$a(x) = q_2(x)/cdot r_1(x) + r_2(x)$/n/n其中，$deg(r_2(x))<deg(r_1(x))$。/n/nStep 3：用$r_2(x)$去除$r_1(x)$，得到商$q_3(x)$和余数$r_3(x)$，即：/n/n$r_1(x) = q_3(x)/cdot r_2(x) + r_3(x)$/n/n其中，$deg(r_3(x))<deg(r_2(x))$。/n/nStep 4：重复Step 3，直到余数$r_n(x)$为0为止。/n/n最终得到最大公因式$gcd(x^8+x^4+x^3+x+1,a(x))=r_{n-1}(x)$。/n/n由于$x^8+x^4+x^3+x+1$是不可约多项式，因此$gcd(x^8+x^4+x^3+x+1,a(x))$要么是1，要么是不可约多项式$x^k+x^j+x^i+x^h+1$，其中$k/geqslant 4$，$j<i<h$。/n/n在本题中，$a(x)$已经是不可约多项式，因此$gcd(x^8+x^4+x^3+x+1,a(x))=1$，即$a(x)$在GF(2^8)中有逆元。/n/n接下来，使用扩展欧几里得算法求逆元：/n/nStep 1：/n/n$x^8+x^4+x^3+x+1 = (00011011)/cdot (1x^6+1x^4+1x^1+1x^0) + (11110010)$/n/nStep 2：/n/n$1x^6+1x^4+1x^1+1x^0 = (11111001)/cdot (11110010) + (00001011)$/n/nStep 3：/n/n$11110010 = (10011001)/cdot (00001011) + (00001111)$/n/nStep 4：/n/n$00001011 = (00000010)/cdot (00001111) + (00000001)$/n/n因此，$gcd(x^8+x^4+x^3+x+1,a(x))=1$，$a(x)$在GF(2^8)中的逆元为$b(x)=00000010$，即$1x^1$。/n/n因此，十六进制的'53'在有限域GF(2^8)中的逆元为$00000010$，即$1x^1$。