利用函数对称性和奇偶性计算二重积分：实例解析

利用函数的对称性和奇偶性可以简化二重积分的计算。具体来说：

1. 奇偶性：

• 若函数 f(x,y) 满足 f(-x,y)=-f(x,y)（或 f(x,-y)=-f(x,y)），则该函数是奇函数。
• 若函数 f(-x,y)=f(x,y)（或 f(x,-y)=f(x,y)），则该函数是偶函数。

对于奇函数，如果积分区域关于某个坐标轴对称，则可以将积分化为两个相同的积分。如果积分区域关于原点对称，则可以将积分化为四个相同的积分。

对于偶函数，如果积分区域关于某个坐标轴对称，则可以将积分化为两个相同的积分。如果积分区域关于原点对称，则可以将积分化为四个相同的积分，并且每个积分的值相等。

2. 对称性：

• 若函数 f(x,y) 满足 f(x,y)=f(y,x)，则该函数在直线 y=x 上对称。
• 若函数 f(x,y) 满足 f(x,y)=f(-x,-y)，则该函数在原点对称。

对于在直线 y=x 上对称的函数，可以将积分区域限制在 y>=x 的区域内，并将 f(x,y) 替换为 f(y,x)，从而得到等价的积分。

对于在原点对称的函数，可以将积分区域限制在第一象限内，并将 f(x,y) 替换为 f(-x,-y)，从而得到等价的积分。

现在来考虑题目中的两个函数 z=1-x^2-y^2 和 z=xy。

首先看 z=1-x^2-y^2，它是关于 x 和 y 坐标轴对称的偶函数。因此，可以将积分区域限制在第一象限内，然后将 f(x,y)=1-x^2-y^2 换成 f(x,y)=1-y^2-x^2，得到

A = 4∫(0→1) ∫(0→x) (1-y^2-x^2) dy dx

化简得到

A = 4∫(0→1) (x-x^3/3) dx = 4(1/2-1/12) = 2/3

接下来看 z=xy，它是关于直线 y=x 对称的奇函数。因此，可以将积分区域限制在 y>=x 的区域内，然后将 f(x,y)=xy 换成 f(y,x)=yx，得到

∫(-1→1) ∫(x→1) (yx-y^2) dy dx

化简得到

∫(-1→1) [(1-x^2)/2-x^4/4] dx = 2(1/2-1/12-1/10+1/42) = -2/15

最后，根据对称性可知，z=xy 在积分区域关于原点对称，因此

∫(-1→1) ∫(-1→1) xy dxdy = 0

将以上结果合并得到

∫(-1→1) ∫(-1→1) (1-x^2-y^2+xy) dxdy = A + 0 + (-2/15) = 4/3 - 2/15 = 52/45