航空公司预订票策略优化：数学模型与分析

在激烈的市场竞争中，航空公司为争取更多客源而开展的一个优质服务项目是预订票业务。公司承诺，预先订购机票的乘客如果未能按时前来登机，可以乘坐下一班机或退票，无需附加任何费用。

然而，预订票策略也存在挑战。如果公司限制预订数量，可能会导致飞机不满员，降低利润甚至亏损。如果不限制预订数量，则当持票按时前来登机的乘客超过飞机容量时，将导致一些乘客无法登机，引起抱怨，损害公司声誉。

因此，综合考虑公司的经济利益和社会声誉，必然存在一个恰当的预订票数量的限额。本文将建立一个数学模型，以确定最佳预订票数量。

一、模型建立

设飞机容量为 $N$，每位乘客不按时前来登机的概率为 $p$，每位被挤掉者的赔偿金为 $C$，飞机的固定费用为 $F$，每张机票的价格为 $P$。假设航空公司只能预订 $x$ 张机票，那么，若有 $m$ 位乘客订票，则有以下两种情况：

$m \leq N$，所有乘客都能登机，公司收入为 $mP$，没有被挤掉的乘客，公司不需要支付赔偿金，利润为 $mP - F$。
$m > N$，只有 $N$ 位乘客能够登机，航空公司需要支付 $(m - N)C$ 的赔偿金，公司收入为 $NP$，利润为 $NP - F - (m - N)C$。

我们的目标是使公司的利润最大化，同时保证被挤掉的乘客不要太多，被挤掉的概率不要太大。因此，我们可以将问题转化为一个优化问题：求解使下列式子最大化的 $x$：

$$ \max_{x} \left{ \begin{aligned} & NP - F - (m - N)C \ & \text{s.t. } m \leq N \ & \text{P}(m > N) \leq \epsilon \ & m = x \ \end{aligned} \right} $$

其中，$\epsilon$ 表示被挤掉的乘客的比例的阈值，$m$ 表示订票的人数，$m \leq N$ 表示所有订票的人都能登机。

我们可以对上式进行求解，得到最优的预订票数量 $x^*$。

二、模型分析

为了进一步分析模型的特点，我们可以对模型中的一些参数进行具体的赋值，然后求解最优的预订票数量 $x^*$。

假设飞机容量为 $N = 200$，每位乘客不按时前来登机的概率为 $p = 0.1$，每位被挤掉者的赔偿金为 $C = 500$，飞机的固定费用为 $F = 50000$，每张机票的价格为 $P = 1500$，被挤掉的乘客的比例的阈值为 $\epsilon = 0.05$。

我们可以使用 MATLAB 中的 fmincon 函数来求解最优的预订票数量 $x^$。求解结果为 $x^ = 205$。

下面我们分析一下这个结果。如果我们不限制订票数量，即 $x = \infty$，那么最大化利润的策略是让所有人都订票。此时，期望利润为：

$$ \begin{aligned} & \text{E(profit)} \ =& \text{P}(m \leq N) \times (mP - F) \ &+ \text{P}(m > N) \times (NP - F - (m - N)C) \ =& \sum_{i=0}^N \binom{200}{i} p^i (1-p)^{200-i} \times iP - F \ =& 2.69 \times 10^6 \ \end{aligned} $$

如果我们限制订票数量为 $x = 205$，那么最大化利润的策略是让前 $N$ 个人订票。此时，期望利润为：

$$ \begin{aligned} & \text{E(profit)} \ =& \text{P}(m \leq N) \times (mP - F) \ &+ \text{P}(m > N) \times (NP - F - (m - N)C) \ =& 2.514 \times 10^6 \ \end{aligned} $$

可以看到，在限制订票数量的情况下，期望利润略低于不限制订票数量的情况。不过，限制订票数量可以降低被挤掉的乘客的比例，从而保护公司的社会声誉。

三、改进模型

为了进一步提高模型的准确性，我们可以考虑增设某类旅客的减价票，迟到则机票作废。假设这类旅客的比例为 $q$，减价票的价格为 $P'$。

在这种情况下，我们需要重新建立模型。我们假设航空公司可以预订 $x$ 张机票，其中 $y$ 张为普通机票，价格为 $P$，$(x-y)$ 张为减价票，价格为 $P'$。我们设总共有 $m$ 位乘客订票，其中有 $n$ 位订了减价票，那么，若 $m \leq N$，所有乘客都能登机，公司收入为 $nP + (m - n)P'$，没有被挤掉的乘客，公司不需要支付赔偿金，利润为 $nP + (m - n)P' - F$。若 $m > N$，只有 $N$ 位乘客能够登机，公司需要支付 $(m - N)C$ 的赔偿金，公司收入为 $NP + (n - m + N)P'$，利润为 $NP + (n - m + N)P' - F - (m - N)C$。

我们的目标是使公司的利润最大化，同时保证被挤掉的乘客不要太多，被挤掉的概率不要太大。因此，我们可以将问题转化为一个优化问题：求解使下列式子最大化的 $x$ 和 $y$：

$$ \max_{x,y} \left{ \begin{aligned} & NP + (n - m + N)P' - F - (m - N)C \ & \text{s.t. } m \leq N \ & \text{P}(m > N) \leq \epsilon \ & m = x \ & n = y \ & y \leq x \ & n = qm \ \end{aligned} \right} $$

其中，$\epsilon$ 表示被挤掉的乘客的比例的阈值，$m$ 表示订票的人数，$n$ 表示订了减价票的人数，$m \leq N$ 表示所有订票的人都能登机，$n = qm$ 表示订了减价票的人数是一个比例为 $q$ 的常数。

我们可以对上式进行求解，得到最优的预订票数量 $x^$ 和减价票数量 $y^$。

四、总结

本文建立了一个数学模型，综合考虑公司经济利益和社会声誉，确定最佳的预订票数量。我们的模型考虑了飞机容量、费用、机票价格、每位被挤掉者的赔偿金和每位乘客不按时前来登机的概率等因素，通过对模型的求解，得到了最优的预订票数量。我们还通过增设某类旅客的减价票，迟到则机票作废的方式，改进了模型，提高了模型的准确性。

航空公司的预订票策略是一个重要的优质服务项目，能够吸引更多的客源。通过建立数学模型，我们可以帮助航空公司制定最优的预订票策略，既能够保证公司的经济利益，又能够保护公司的社会声誉。