证明等式： (...((2%2+2)%3+2)%4+2...+2)%n = n%2^s * 2 + 1

我们可以使用数学归纳法证明这个等式。

首先，当n=2时，左边的式子可以化简为2%2=0，右边的式子可以化简为2%2^1 * 2 + 1 = 2 * 2 + 1 = 5。因此，当n=2时，等式成立。

接下来，假设当n=k时，等式成立，即：

$$(...((2%2+2)%3+2)%4+2...+2)%k=k%2^s * 2 + 1$$

我们需要证明当n=k+1时，等式也成立。即：

$$(...((2%2+2)%3+2)%4+2...+2)%(k+1)=(k+1)%2^s * 2 + 1$$

我们可以把左边的式子展开为：

$$(...((2%2+2)%3+2)%4+2...+2)%(k+1)=((...((2%2+2)%3+2)%4+2...+2)%k+2)%(k+1)$$

根据归纳假设，我们可以将内层的括号展开为：

$$((...((2%2+2)%3+2)%4+2...+2)%k+2)%(k+1)=(k%2^s * 2 + 1 + 2)%(k+1)$$

我们可以继续化简右边的式子：

$$(k%2^s * 2 + 1 + 2)%(k+1)=(2^(s+1)+1)%(k+1)$$

由于2^(s+1)是一个以1开头，后面跟着s个0的数，所以2^(s+1)+1可以被k+1整除。因此，(2^(s+1)+1)%(k+1)=0。

所以，右边的式子可以化简为0+1=1。

因此，我们证明了当n=k+1时，等式也成立。

根据数学归纳法，我们可以得出对于任意的正整数n，等式都成立。