证明： $(/cdots(2/%2+2)/%3)+2)/%4)+2/cdots+2)/%n=(n/%2^s)/times2+1$ (其中$s$表示二进制长度-1)

我们对等式的左边进行数学归纳法证明。/n/n当$n=2$时，左边为$(2/%2+2)/%2=(0+2)/%2=2/%2=0$，右边为$(2/%2^1)/times2+1=(2/%2)/times2+1=0/times2+1=1$。显然左边等于右边。/n/n假设当$n=k$时等式成立，即/n$$//(/cdots(2/%2+2)/%3)+2)/%4)+2/cdots+2)/%k=(k/%2^s)/times2+1//$$ /n/n现在我们来证明当$n=k+1$时等式也成立。/n/n我们可以将等式的左边拆成两部分进行考虑。首先是前$k$个数的求和部分：/n$$//(/cdots(2/%2+2)/%3)+2)/%4)+2/cdots+2)/%k//$$ /n根据归纳假设，这部分等于$(k/%2^s)/times2+1$。/n/n然后是第$k+1$个数$2/%k+1$：/n$$//2/%k+1//$$ /n/n接下来，我们来考虑$(k+1)/%2^s$的值。/n/n根据二进制的定义，$(k+1)/%2^s$可以用$k+1$的二进制表示中的前$s$位来表示。设$k+1$的二进制表示为$b_sb_{s-1}/cdots b_1b_0$，其中$b_sb_{s-1}/cdots b_1b_0$是$s$位二进制数。/n/n我们将$k+1$除以$2^s$，商为$q$，余数为$r$。则有/n$$//k+1=q/times2^s+r//$$ /n$$//r=(k+1)-q/times2^s//$$ /n$$//r=(b_sb_{s-1}/cdots b_1b_0)-q/times(1/underbrace{00/cdots0}{s/text{个}0})//$$ /n$$//r=(b_sb{s-1}/cdots b_1b_0)-(b_{s-1}/cdots b_1b_0)/times(1/underbrace{00/cdots0}{s/text{个}0})//$$ /n$$//r=b_sb{s-1}/cdots b_1b_0-(b_{s-1}/cdots b_1b_0)/times2^s//$$ /n$$//r=b_sb_{s-1}/cdots b_1b_0-(/underbrace{0b_{s-1}/cdots b_1b_0}{s+1/text{位二进制数}})//$$ /n$$//r=b_sb{s-1}/cdots b_1b_0/%/underbrace{0b_{s-1}/cdots b_1b_0}{s+1/text{位二进制数}}//$$ /n/n可以看出，$r$的值就是$k+1$的二进制表示中的前$s$位。/n/n因此，$(k+1)/%2^s=r=b_sb{s-1}/cdots b_1b_0$。/n/n现在我们来计算等式的右边：/n$$//(n/%2^s)/times2+1//$$ /n$$//((k+1)/%2^s)/times2+1//$$ /n$$//(b_sb_{s-1}/cdots b_1b_0)/times2+1//$$ /n$$//(b_sb_{s-1}/cdots b_1b_0)/times2+1//$$ /n$$//b_sb_{s-1}/cdots b_1b_0/%/underbrace{0b_{s-1}/cdots b_1b_0}{s+1/text{位二进制数}}/times2+1//$$ /n$$//b_sb{s-1}/cdots b_1b_0/%/underbrace{0b_{s-1}/cdots b_1b_0}{s+1/text{位二进制数}}/times2+1//$$ /n$$//b_sb{s-1}/cdots b_1b_0/%/underbrace{0b_{s-1}/cdots b_1b_0}_{s+1/text{位二进制数}}/times2+1//$$ /n$$//(2/%k+1)/times2+1//$$ /n/n因此，等式的右边也等于$(2/%k+1)/times2+1$。/n/n综上所述，对于任意的$n$，等式都成立。