无人机定点投放距离计算模型研究

随着科学技术的不断发展，无人机在许多领域都有着广泛的应用。对于空中执行定点投放任务的无人机，其投放精度不仅依赖于无人机的操作技术，而且还与无人机执行任务时所处状态和环境有关，例如在接近投放点时无人机的高度、速度，无人机所处位置的风速、投放点周围地理环境等因素。在本题中仅考虑喷气式无人机，请查阅相关资料，研究以下问题：

问题1： 假设无人机以平行于水平面的方式飞行，在空中投放物资（物资为球形，半径20cm，重量50kg）到达地面指定位置。

(1) 建立数学模型，给出无人机投放距离（投放物资时无人机与地面物资指定落地点之间的直线距离）与无人机飞行高度、飞行速度、空气阻力等之间的关系。 (2) 假设无人机的飞行高度为300m，飞行速度为300km/h，风速为5m/s，风向与水平面平行。建立数学模型，分别给出无人机飞行方向与风向相同（夹角为0度）、相反（夹角为180度）、垂直（夹角为90度）情况下无人机的投放距离。

解答：

(1) 建立模型

在空气中运动的物体，其受到重力和空气阻力的作用。设无人机在水平面上匀速飞行，无人机质量为$m$，飞行速度为$v$，飞行高度为$h$，空气密度为$\rho$，空气阻力系数为$k$。则无人机受到的合力为：

$$F = F_g - F_d$$

其中，$F_g$为重力，$F_d$为空气阻力。重力为：

$$F_g = mg$$

空气阻力为：

$$F_d = \frac{1}{2}\rho v^2Sk$$

其中，$S$为无人机横截面积。由于无人机在水平面上匀速飞行，所以合力方向垂直于水平面，其大小为：

$$F = \sqrt{F_g^2 + F_d^2}$$

根据牛顿第二定律，可得：

$$ma = \sqrt{F_g^2 + F_d^2}$$

由于无人机在水平面上匀速飞行，所以只考虑水平方向的力平衡关系，得到：

$$ma = F_d$$

联立上述式子，可得：

$$a = \frac{1}{2m}\rho v^2Sk$$

假设无人机飞行时间为$t$，无人机飞行距离为$d$，则有：

$$d = vt$$

在空气阻力作用下，无人机的速度将不再是匀速直线运动，而是呈现出减速直线运动。因此，无人机的飞行时间$t$和飞行距离$d$与空气阻力系数$k$有关。

将球形物资从无人机上投放到地面上，其运动轨迹为自由落体运动。假设物资从无人机上投放时，无人机与地面物资指定落地点之间的直线距离为$l$，则有：

$$l = \sqrt{d^2 + h^2}$$

综上所述，无人机投放距离$d$与无人机飞行高度$h$、飞行速度$v$、空气密度$\rho$、空气阻力系数$k$之间的关系为：

$$d = \frac{mg}{2k\rho Sv} \ln\left(1 + \frac{2k\rho Sv^2h}{mg}\right)$$

(2) 建立模型

设无人机飞行方向与地面风向夹角为$\theta$，则无人机在水平方向上的风速为$v_w = v_{wind}\cos\theta$。根据相对速度概念，无人机在水平方向上的速度为：

$$v_h = v\pm v_w$$

其中，$v_w$的正负号取决于无人机飞行方向与地面风向的夹角$\theta$，当$\theta = 0$时，$v_w$取正号，当$\theta = 180$时，$v_w$取负号，当$\theta = 90$时，$v_w = 0$。

根据上述模型，可得到无人机投放距离与各种情况下的关系式：

当无人机飞行方向与地面风向相同时，即$\theta = 0$时，有：

$$d = \frac{mg}{2k\rho Sv} \ln\left(1 + \frac{2k\rho Sv^2h}{mg}\right)$$

当无人机飞行方向与地面风向相反时，即$\theta = 180$时，有：

$$d = \frac{mg}{2k\rho Sv} \ln\left(1 - \frac{2k\rho Sv^2h}{mg}\right)$$

当无人机飞行方向与地面风向垂直时，即$\theta = 90$时，有：

$$d = \frac{mg}{2k\rho S\sqrt{v^2+v_{wind}^2}} \ln\left(1 + \frac{2k\rho S\sqrt{v^2+v_{wind}^2}h}{mg}\right)$$

注：以上模型中未考虑地球自转等因素对风向的影响，实际应用中需进行修正。