偏微分方程积分项化简 - 利用乘积法则和分部积分公式

首先，利用乘积法则将第一项中的 '(u^m)t u_t' 展开，得到/n/n//begin{align*}/n&/int_0^T //int//Omega {(u^m)t} u_t dxdt///n=&/int_0^T //int//Omega u_t^m u_t dxdt + //int_0^T //int_//Omega mu_t^{m-1} (u_t)^2 dxdt///n=&/frac{1}{2}//int_0^T //int_//Omega (u_t^m)^2 dxdt + //frac{1}{2}//int_0^T //int_//Omega (mu_t^{m-1})^2 dxdt///n&//quad + //frac{1}{2}//int_0^T //int_//Omega u_t^{2m} dxdt - //frac{1}{2}//int_0^T //int_//Omega u_t^{2m-2}(u_t)^2 dxdt./n//end{align*}/n/n接下来，利用分部积分公式将第二项中的 '(u^m)t' 移到 'u^m' 上方，得到/n/n//begin{align*}/n&/int_0^T //int//Omega {(-//Delta_p)}^s u^m (u^m)t dxdt///n=&/int_0^T //int//Omega {(-/Delta_p)^s u^m} (u^m)t dxdt///n=&/int_0^T //int//Omega {(-/Delta_p)^s u^m} d(u^m) - //int_0^T //int_//Omega {(-/Delta_p)^s u^m} u_t^m dxdt///n=&/int_0^T //int_//Omega {(-/Delta_p)^{s+1} u^m} dxdt - //int_0^T //int_//Omega {(-/Delta_p)^s u^m} u_t^m dxdt./n//end{align*}/n/n将上述两项代入原式，得到/n/n//begin{align*}/n&//frac{1}{2}//int_0^T //int_//Omega (u_t^m)^2 dxdt + //frac{1}{2}//int_0^T //int_//Omega (mu_t^{m-1})^2 dxdt///n&//quad + //frac{1}{2}//int_0^T //int_//Omega u_t^{2m} dxdt - //frac{1}{2}//int_0^T //int_//Omega u_t^{2m-2}(u_t)^2 dxdt///n&//quad + //int_0^T //int_//Omega {(-/Delta_p)^{s+1} u^m} dxdt - //int_0^T //int_//Omega {(-/Delta_p)^s u^m} u_t^m dxdt///n=&//int_0^T //int_//Omega {f(u)(u^m_t)} dxdt./n//end{align*}