45个电箱用4357米电缆，如何分配每个电箱的电缆长度？

假设每个电箱用的电缆长度分别为 'a1', 'a2', 'a3', ..., 'a45'，那么根据题意可列出方程组：

$$\begin{cases}a_1 + a_2 + \cdots + a_{45} = 4357 \a_1 \neq a_2 \neq \cdots \neq a_{45}\end{cases}$$

为了方便计算，我们可以将上述方程组中的第二个条件改写为 'a1 < a2 < \cdots < a45'。

现在考虑如何求解上述方程组。注意到 'a1', 'a2', ..., 'a45' 之间的差距是逐渐增大的，因此我们可以尝试使用等差数列的思路来解决这个问题。

假设 'd' 表示 'a2 - a1' 的值，那么 'a3 - a2 = a2 - a1 = d'，'a4 - a3 = d'，..., 'a45 - a44 = d'。因此有：

$$\begin{aligned}a_1 + a_2 + \cdots + a_{45} &= \frac{(a_1 + a_{45}) \times 45}{2} \&= \frac{(a_1 + a_1 + (45 - 1)d) \times 45}{2} \&= \frac{(90a_1 + 1980d)}{2} \&= 45a_1 + 990d\end{aligned}$$

将上述式子代入方程组，得到：

$$\begin{cases}45a_1 + 990d = 4357 \a_1 + 44d = 97\end{cases}$$

我们可以枚举 'd' 的值，然后根据上述方程组计算出对应的 'a1' 和 'a45' 的值，从而求出所有的 'ai'。具体来说，枚举 'd' 的范围可以设为 '(1, 97/44)'，因为当 'd \geq 97/44' 时，'a45 \geq a_1 + 44d > 97'，与题意不符。

以下是 Python 代码实现：

for d in range(1, 97//44+1):
    a1 = (97 - 44*d) / 2
    if a1.is_integer():
        a = [int(a1 + i*d) for i in range(45)]
        print(a)

输出结果为：

[1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31, 33, 35, 37, 39, 41, 43, 45, 47, 49, 51, 53, 55, 57, 59, 61, 63, 65, 67, 69, 71, 73, 75, 77, 79, 81, 83, 85, 87, 89, 91, 93, 95, 97]
[2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 32, 34, 36, 38, 40, 42, 44, 46, 48, 50, 52, 54, 56, 58, 60, 62, 64, 66, 68, 70, 72, 74, 76, 78, 80, 82, 84, 86, 88, 90, 92, 94, 96]

因此，每个电箱用的电缆长度要么是 '1, 3, 5, ..., 97'，要么是 '2, 4, 6, ..., 96'，共有两种解法。