(b-x)/(a^2*√(a^2+(b-x)^2)) + C：关于1/(a^2+(b-x)^2)^(3/2)对x的积分详解

求解积分：∫ 1/(a^2 + (b - x)^2)^(3/2) dx

本文将逐步展示如何求解积分 ∫ 1/(a^2 + (b - x)^2)^(3/2) 对 x 的积分，其中 a 和 b 是常数。

步骤一：变量替换

为了简化积分表达式，我们进行如下变量替换：

令 u = b - x，则 du = -dx。

将 u 和 du 代入原积分式，得到：

∫ 1/(a^2 + u^2)^(3/2) * (-du) = - ∫ 1/(a^2 + u^2)^(3/2) du

步骤二：应用积分公式

现在，我们需要应用以下常见的积分公式：

∫ 1/(a^2 + u^2)^(3/2) du = u / (a^2 * sqrt(a^2 + u^2)) + C

其中 C 是积分常数。

步骤三：回代变量

将 u = b - x 代入上式，得到最终结果：

∫ 1/(a^2 + (b - x)^2)^(3/2) dx = (b - x) / (a^2 * sqrt(a^2 + (b - x)^2)) + C

因此，1/(a^2 + (b-x)^2)^(3/2) 对 x 的积分结果为 (b - x) / (a^2 * sqrt(a^2 + (b - x)^2)) + C，其中 C 是积分常数。