求以平面为界的实体的体积 - y=0, z=0, x+z=1 和 抛物线圆柱体 y=√x

求以平面为界的实体的体积 - y=0, z=0, x+z=1 和 抛物线圆柱体 y=√x

题目描述：

求以平面为界的实体的体积，其中平面方程为 y=0, z=0, x+z=1，抛物线圆柱体方程为 y=√x。

解题思路：

首先，我们画出这两个实体的图形：

[图形描述]

可以看到，这两个实体的交点是在 x=1 处，因此我们可以将它们分为两部分，即 x≤1 和 x>1。

对于 x≤1 的部分，它们的交点是抛物线圆柱体和平面的交点，即 (1,1,0)。因此，我们可以将它们的体积表示为：

$$ \begin{aligned} V_1 &= \int_0^1 \int_0^{\sqrt{x}} \int_0^{1-x} dydzdx \ &= \int_0^1 \int_0^{\sqrt{x}} (1-x)dydx \ &= \int_0^1 (\sqrt{x}-\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}})dx \ &= \frac{1}{2}-\frac{4}{9} \ &= \frac{1}{18} \end{aligned} $$

对于 x>1 的部分，它们的交点是抛物线圆柱体和平面的交点，即 (x,√x,1-x)。因此，我们可以将它们的体积表示为：

$$ \begin{aligned} V_2 &= \int_1^\infty \int_0^{\sqrt{x}} \int_0^{2\sqrt{x}-x} dydzdx \ &= \int_1^\infty \int_0^{\sqrt{x}} (2\sqrt{x}-x)dydx \ &= \int_1^\infty (\frac{4}{3}x^{\frac{3}{2}}-\frac{2}{3}x^2)dx \ &= \infty \end{aligned} $$

因此，最终的体积为：

$$ V=V_1+V_2=\frac{1}{18}+\infty=\infty $$

答案为无穷大。