求以平面为界的实体的体积：y=0, z=0, x+z=1 和 抛物线圆柱体 y=√x

首先画出这些实体：

其中，红色部分是 y=0, z=0, x+z=1 所确定的平面和坐标轴所围成的立方体，蓝色部分是 y=√x 所确定的圆柱体。我们需要求的是这两个实体的交集部分的体积。

首先看一下 y=√x 这个圆柱体和 xz 平面的交线：

可以看出，圆柱体和 xz 平面的交线是一个上半圆和一个下半圆，它们的半径分别为 0 和 1。

因为圆柱体的底面是一个上半圆和一个下半圆，所以我们可以把它们分别看作由许多小的圆柱体组成。设圆柱体的高为 h，半径为 r，则它的体积为：

V = πr²h

现在我们需要求出在 y=0, z=0, x+z=1 和 y=√x 的限制下，圆柱体的高和半径。首先，根据 y=0, z=0, x+z=1，我们可以得到：

y + z = 1 y = √x

代入得：

√x + z = 1

解出 z：

z = 1 - √x

代入得：

y = √x z = 1 - √x

这就是圆柱体的截面，在这个截面上圆柱体的高 h 等于 dx，圆柱体的半径 r 等于 √x。因此，圆柱体的体积可以表示为：

V = ∫₀¹ π(√x)² dx

= π∫₀¹ (x) dx

= π[x²/2]₀¹

= π/2

圆柱体的体积求出来了，接下来我们需要把它和立方体的体积相乘，得到它们的交集部分的体积：

V = 1·1·π/2

= π/2

因此，圆柱体 y=√x 和平面 y=0, z=0, x+z=1 所围成的实体的体积为 π/2。