• 日期: 2028-06-11
  • 标签: 常规

这是一个 MATLAB 函数，名称为 sunsal1，用于解决盲源分离问题。它的输入参数为 M 和 y，以及一些可选参数，包括 AL_ITERS（AL 算法的迭代次数）、LAMBDA（正则化参数）、POSITIVITY（是否约束解为非负数）、ADDONE（是否要求解满足所有元素之和为 1）、TOL（误差容限）和 VERBOSE（是否输出迭代过程信息）。函数的输出参数为 z（估计的源信号）、res_p（原始残差）和 res_d（对偶残差）。

函数的主体部分是一个增广 Lagrange 算法 (AL)，通过迭代调整估计的源信号和 Lagrange 乘子来最小化误差。其中，soft 函数用于实现 L1 正则化。函数还包括一些特殊的情况处理，例如如果正则化参数为 0，则直接使用最小二乘法；如果要求解满足所有元素之和为 1，则将问题转化为约束最小二乘问题。

function [z,res_p,res_d] = sunsal1(M,y,varargin)

if (rem(length(varargin),2)==1)
    error('Optional parameters should always go by pairs');
else
    for i=1:2:(length(varargin)-1)
        switch upper(varargin{i})
            case 'AL_ITERS'
                AL_iters = round(varargin{i+1});
                if (AL_iters <= 0 )
                       error('AL_iters must a positive integer');
                end
            case 'LAMBDA'
                lambda = varargin{i+1};
                if (sum(sum(lambda < 0)) >  0 )
                       error('lambda must be positive');
                end
            case 'POSITIVITY'
                positivity = varargin{i+1};
            case 'ADDONE'
                addone = varargin{i+1};
            case 'TOL'
                tol = varargin{i+1};
            case 'VERBOSE'
                verbose = varargin{i+1};
            case 'X0'
                x0 = varargin{i+1};
                if (size(x0,1) ~= p) | (size(x0,1) ~= N)
                    error('initial X is  inconsistent with M or Y');
                end
            otherwise
                % Hmmm, something wrong with the parameter string
                error(['Unrecognized option: ' varargin{i} ''']);
        end;
    end;
end

%---------------------------------------------
%  If lambda is scalar convert it into vector
%---------------------------------------------
Nlambda = size(lambda);
if Nlambda == 1
    % same lambda for all pixels
    lambda = lambda*ones(p,N);
elseif Nlambda ~= N
        error('Lambda size is inconsistent with the size of the data set');
else
  %each pixel has its own lambda
   lambda = repmat(lambda(:)',p,1);
end

% compute mean norm
  norm_y = sqrt(mean(mean(y.^2)));
% rescale M and Y and lambda
M = M/norm_y;
y = y/norm_y;
lambda = lambda/norm_y^2;

  

%%
%---------------------------------------------
% just least squares
%---------------------------------------------
if sum(sum(lambda == 0)) &&  strcmp(positivity,'no') && strcmp(addone,'no')
    z = pinv(M)*y;
    % primal and dual residues
    res_p = 0;
    res_d = 0;
    return
end
%---------------------------------------------
% least squares constrained (sum(x) = 1)
%---------------------------------------------
SMALL = 1e-12;
B = ones(1,p);
a = ones(1,N);

if  strcmp(addone,'yes') && strcmp(positivity,'no') 
    F = M'*M;
    % test if F is invertible
    if rcond(F) > SMALL
        % compute the solution explicitly
        IF = inv(F);
        z = IF*M'*y-IF*B'*inv(B*IF*B')*(B*IF*M'*y-a);
        % primal and dual residues
        res_p = 0;
        res_d = 0;
        return
    end
end


%%
%---------------------------------------------
%  Constants and initializations
%---------------------------------------------
mu_AL = 0.01;
mu = 10*mean(lambda(:)) + mu_AL;

%F = M'*M+mu*eye(p);
[UF,SF] = svd(M'*M);
sF = diag(SF);
IF = UF*diag(1./(sF+mu))*UF';
%IF = inv(F);
Aux = IF*B'*inv(B*IF*B');
x_aux = Aux*a;
IF1 = (IF-Aux*B*IF);


yy = M'*y;

%%
%---------------------------------------------
%  Initializations
%---------------------------------------------

% no intial solution supplied
if x0 == 0
    x= IF*M'*y;
end

z = x;
% scaled Lagrange Multipliers
d  = 0*z;


%%
%---------------------------------------------
%  AL iterations - main body
%---------------------------------------------
tol1 = sqrt(N*p)*tol;
tol2 = sqrt(N*p)*tol;
i=1;
res_p = inf;
res_d = inf;
maskz = ones(size(z));
mu_changed = 0;
while (i <= AL_iters) && ((abs (res_p) > tol1) || (abs (res_d) > tol2)) 
    % save z to be used later
    if mod(i,10) == 1
        z0 = z;
    end
    % minimize with respect to z
    z =  soft(x-d,lambda/mu);
    % teste for positivity
    if strcmp(positivity,'yes')
       maskz = (z >= 0);
       z = z.*maskz; 
    end
    % teste for sum-to-one 
    if strcmp(addone,'yes')
       x = IF1*(yy+mu*(z+d))+x_aux;
    else
       x = IF*(yy+mu*(z+d));
    end
    
    % Lagrange multipliers update
    d = d -(x-z);

    % update mu so to keep primal and dual residuals whithin a factor of 10
    if mod(i,10) == 1
        %
        re_error=norm(y-M*z);%./norm(y);

%         theta=1e-3;
%         sign=z>theta;
%         X_active=sign.*z;
%         to=sum(sum(X_active.^2));   
%         plot(re_error, to, 'dc');hold on

        % primal residue
        res_p = norm(x-z,'fro');
        % dual residue
        res_d = mu*norm(z-z0,'fro');
        if  strcmp(verbose,'yes')
            fprintf(' i = %f, res_p = %f, res_d = %f, re_error= %f
',i,res_p,res_d, re_error);
        end
        % update mu
        if res_p > 10*res_d
            mu = mu*2;
            d = d/2;
            mu_changed = 1;
        elseif res_d > 10*res_p
            mu = mu/2;
            d = d*2;
            mu_changed = 1;
        end
        if  mu_changed
           % update IF and IF1

           IF = UF*diag(1./(sF+mu))*UF';
           Aux = IF*B'*inv(B*IF*B');
           x_aux = Aux*a;
           IF1 = (IF-Aux*B*IF);
            mu_changed = 0;
            %mu
        end
        
        
    end
    
    i=i+1;
        
   
       
end

    
 
% % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % %
end

详细解释：

  1. 函数参数：

    • M: 混合矩阵，用来描述混合信号的模型。
    • y: 混合后的信号，即观测到的信号。
    • varargin: 可选参数，包括以下选项：
      • AL_ITERS: AL 算法的迭代次数，默认为 100。
      • LAMBDA: 正则化参数，用来控制解的稀疏性，默认为 0.1。
      • POSITIVITY: 是否约束解为非负数，默认为 'no'。
      • ADDONE: 是否要求解满足所有元素之和为 1，默认为 'no'。
      • TOL: 误差容限，用来控制迭代停止的条件，默认为 1e-6。
      • VERBOSE: 是否输出迭代过程信息，默认为 'no'。
      • X0: 估计的源信号的初始值，默认为 0。

  2. 算法核心：

    • 函数采用增广 Lagrange 算法 (AL) 来解决盲源分离问题。该算法将原始问题转化为一个无约束的优化问题，并通过迭代调整估计的源信号和 Lagrange 乘子来最小化误差。
    • AL 算法的核心是求解一个子问题，该子问题可以表示为： 
      z = argmin ||y - Mz||^2 + lambda||z||_1 + (mu/2)||z - x + d||^2
      其中，z 是估计的源信号，x 是上一次迭代的估计结果，d 是 Lagrange 乘子，mu 是惩罚因子，lambda 是正则化参数。
    • 该子问题可以通过软阈值操作来求解： 
      z = soft(x - d, lambda/mu)
    • soft 函数定义为： 
      soft(x, t) = sign(x) * max(abs(x) - t, 0)

  3. 特殊情况处理：

    • 如果正则化参数 lambda 为 0，则函数直接使用最小二乘法求解。
    • 如果要求解满足所有元素之和为 1，则函数将问题转化为约束最小二乘问题，并使用拉格朗日乘子法求解。

  4. 输出结果：

    • z: 估计的源信号。
    • res_p: 原始残差，即估计结果与观测信号之间的误差。
    • res_d: 对偶残差，用来衡量 Lagrange 乘子的变化量。

总结：

sunsal1 函数是一个功能强大的 MATLAB 函数，可以用来解决盲源分离问题。它支持多种可选参数，可以根据实际情况进行调整。函数内部使用 AL 算法求解，并提供了原始残差和对偶残差的计算结果，可以用来评估算法的性能。

MATLAB 函数 sunsal1 解释：盲源分离问题求解

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