SUNSAL_TV 算法解析：用于高光谱解混的 l_2 + l_{1,1} + TV 优化问题

SUNSAL_TV 解决以下 l_2 + l_{1,1} + TV 优化问题：

定义：

• A -> L * n; 混合矩阵（Library）
• X -> n * N; N 个分数向量的集合；X 的每一列包含了相应像素的分数

优化问题：

min (1/2) ||A X-Y||^2_F + lambda_1 ||X||{1,1} + lambda_tv ||LX||{1,1};

其中

• (1/2) ||A X-Y||^2_F 是二次数据不匹配项
• ||X||_{1,1} = sum_i ||X(:,i)||_1，i = 1，…，N. 是标准的 l1 规则化器
• ||LX||_{1,1} 是 TV（非各向同性或各向同性规则化器）

L 是一个线性算子，计算 X 的每个带的水平和垂直差异。让 Lh:R^{nN}->R^{nN} 是一个线性算子，它计算每条带的水平一阶差异。LhX 计算与 X 相同大小的矩阵（我们假设有循环边界），其中 LhX=X(i,h(j))-X(i,j)，其中 h(j) 是 j 右侧像素的索引。

对于垂直差异，我们有类似于 Lv 的操作：LvX=X(v(i),j)-X(i,j)，其中 v(i) 是像素 j 上方的索引。

我们考虑两种总变异：

• a) 非各向异性：||LX||{1,1}:=||[Lh; Lv]X||{1,1}
• b) 各向同性：||LX||{1,1}:=||(LhX, LvX)||11，其中 |||(A,B)||{1,1}:=|||sqrt(A.^2 + B.^2)||{1,1}

限制接受：

• 1. 正性 X(:,i)>=0，i=1，…，N
• 2. Sum-To-One sum(X(:,i))=1，i=1，…，N

注意：

• 1. 如果 X 是矩阵且 lambda_TV=0，则 SUNSAL_TV 按列独立优化解决。
• 2. 如果正性和 Sum-To-One 约束都激活，则我们有 ||X||_{1,1}=n，因此此规则化器无用。

SUNSAL_TV 通过引入变量拆分来解决上述优化问题，然后使用增广拉格朗日方法解决所得到的约束优化问题。

起始问题转换为

min (1/2) ||A X-Y||^2_F + i_R_+(X) + i_S(X) + lambda_1 ||X||{1,1} + lambda_tv ||LX||{1,1};

其中 i_R_+ 和 i_S 是应用于 X 的列的集合 R_+ 和概率单形的指示函数。

然后，我们应用以下变量分裂

min (1/2) ||V1-Y||^2 + i_R_+(V2) + i_S(V3) + lambda_1 ||V4||{1,1} + lambda_tv ||V6||{1,1};

满足以下条件：AU=V1，U=V2，U=V3，U=V4，U=V5，LV5=V6。

有关详细信息，请参见

• J. Bioucas-Dias 和 M. Figueiredo，“用于约束稀疏回归的交替方向算法：应用于高光谱分离？”在第 2 届 IEEE GRSS WHISPERS'2010 高光谱图像和信号处理研讨会，冰岛雷克雅未克，2010 年。
• M.-D. Iordache，J. Bioucas-Dias 和 A. Plaza，“稀疏高光谱混合的总变异空间规则化”，IEEE 遥感和遥测学报，vol.PP，no.99，pp.1-19，2012 年。
• M.-D. Iordache，J. Bioucas-Dias 和 A. Plaza，“高光谱数据的稀疏混合”，IEEE 遥感和遥测学报，vol.49，no.6，pp.2014-2039，2011 年。
• M. V. Afonso，J. Bioucas-Dias 和 M. Figueiredo，“用于成像反问题约束优化公式的增广拉格朗日方法？” IEEE 图像处理期刊，vol.20，no.3，pp.681-695，2011 年。

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