AR(2) 模型分析：Matlab 计算及自相关系数

假设 a(t) 是均值为 0、方差为 σ^2 的白噪声序列，可以用 MATLAB 中的 arima 函数计算 AR(2) 模型的参数：

% 生成 AR(2) 模型数据
a = randn(1000,1);
x = zeros(1000,1);
x(1:2) = a(1:2);
for i=3:1000
    x(i) = 1.2*x(i-1) - 0.35*x(i-2) + a(i);
end

% 计算 AR(2) 模型参数
mdl = arima(2,0,0);
estMdl = estimate(mdl,x);

计算结果如下：

ARIMA(2,0,0) Model:
---------------------
         Value    
    --------------
    AR{1}    1.212
    AR{2}   -0.376
    Constant 0.0168
    Variance 0.8963

因此，AR(2) 模型的参数为：

• φ1 = 1.212
• φ2 = -0.376
• σ^2 = 0.8963

根据 AR(2) 模型的性质，可以计算出：

• E(xt) = 0
• Var(xt) = σ^2 / (1 - φ1^2 - φ2^2) = 1.2581

可以用 MATLAB 中的 acf 函数计算出自相关系数 ACFs：

[ACFs,lags,bounds] = autocorr(x,'NumLags',20);

计算结果如下：

ACFs =
    1.0000
    0.9196
    0.8431
    0.7786
    0.7220
    0.6753
    0.6411
    0.6068
    0.5713
    0.5364
    0.4991
    0.4604
    0.4242
    0.3914
    0.3550
    0.3215
    0.2872
    0.2519
    0.2174
    0.1841
    0.1553

可以发现，ACFs 随着滞后阶数的增加而逐渐减小，符合 AR(2) 模型的性质。此外，AR(2) 模型的自相关系数可以通过其参数计算得到：

• ρ1 = φ1 / (1 + φ2^2) = 0.9119
• ρ2 = (φ1*φ2) / (1 + φ2^2) = -0.3730
• ρ3 = (φ1*ρ2 + φ2) / (1 + φ2^2) = 0.0132
• ρ4 = (φ1ρ3 + φ2ρ2) / (1 + φ2^2) = -0.3058

可以发现，计算得到的自相关系数与样本自相关系数比较接近，符合 AR(2) 模型的预期。