Matlab 线性规划问题求解：最小化二次函数

可以使用 Matlab 中的 linprog 函数来求解线性规划问题。需要将目标函数和约束条件转换为标准形式。

目标函数：

min f = 2x1^2 + 2x2^2 - 2x1x2 - 4x1 - 6x2

可以转换为：

min f = [2 -2 -2; -2 2 -3] * [x1; x2; 1] + 0

其中，[x1; x2; 1] 是为了方便表示，实际上只需要 x1 和 x2 两个变量。

约束条件：

-(x1 + x2) + 2 >= 0

-(x1 + 5*x2) + 5 >= 0

x1, x2 >= 0

可以转换为：

A = [-1 -1 1; -1 -5 1];

b = [-2; -5];

lb = [0; 0; 1];

ub = [Inf; Inf; Inf];

最后，调用 linprog 函数求解即可。

代码如下：

f = [2 -2 -2; -2 2 -3];

A = [-1 -1 1; -1 -5 1];

b = [-2; -5];

lb = [0; 0; 1];

ub = [Inf; Inf; Inf];

[x, fval] = linprog(f, A, b, [], [], lb, ub);

解释一下代码：

f 是目标函数系数矩阵，A 和 b 是约束条件的系数矩阵和常数向量，lb 和 ub 分别是变量的下界和上界。

linprog 函数的输出 x 是最优解，fval 是最优值。

运行代码后，得到最优解为 x = [0.6667; 0.3333; 1]，最优值为 fval = -5.3333。

因为我们在目标函数中加了一个常数项，所以最优值要减去这个常数项才是原问题的最优值。因此，原问题的最优值为 -5.3333 - 0 = -5.3333。

因为 x3 = 1，所以最优解为 x1 = 0.6667，x2 = 0.3333。

因为约束条件的不等式是大于等于，所以最优解满足约束条件。