证明函数最大值点处的二阶导数性质

根据题意，函数在封闭区间上连续，且在开放区间上二阶导数存在且满足 'f''(x) < 0'。

由于函数在封闭区间上连续，所以在该区间上必定存在最大值。设其最大值点为 'x0'，则有 'f(x0) ≥ f(x)'，其中 'x' 为区间内的任意点。

由于函数在开放区间上二阶导数存在且满足 'f''(x) < 0'，所以其一阶导数在开放区间上单调递增或单调递减。假设在开放区间上一阶导数单调递增，则有 'f'(x) > f'(x0)'，其中 'x' 为区间内的任意点。

由于 'f(x0) ≥ f(x)'，所以 'f(x0) - f(x) ≥ 0'。

根据拉格朗日中值定理，存在一个介于 'x0' 和 'x' 的点 'ξ'，使得 'f(x0) - f(x) = f'(ξ)(x0 - x)'。

由于 'f'(ξ) > f'(x0)'，所以 'f(x0) - f(x) = f'(ξ)(x0 - x) > f'(x0)(x0 - x)'。

因此 'f'(x0)(x0 - x) < 0'。

根据前面的结论，可得 'f'(x0) < 0' 或 'x0 - x > 0'。

由于 'x0' 为最大值点，所以 'x0 - x ≤ 0'。因此 'f'(x0) < 0'。

综上所述，有 'f'(x0) < 0'。

即 'f''(x0) < 0'。

证毕。