对数正态分布样本均值和数学期望的置信区间计算

(1) 由中心极限定理，当样本量足够大时，样本均值的抽样分布近似于正态分布，即：

$$ \frac{\bar{X}-\mu}{\frac{1}{\sqrt{n}}}\sim N(0,1) $$

其中，$\bar{X}$为样本均值，$\mu$为总体均值，$n$为样本量。

因为$Y=\ln X$服从正态分布$N(\mu,1)$，所以有：

$$ \frac{\ln \bar{X}-\mu}{\frac{1}{\sqrt{n}}}\sim N(0,1) $$

利用正态分布的置信区间公式，可得：

$$ P(-1.96\leq \frac{\ln \bar{X}-\mu}{\frac{1}{\sqrt{n}}}\leq 1.96)=0.95 $$

移项得：

$$ P(\ln \bar{X}-1.96\frac{1}{\sqrt{n}}\leq \mu \leq \ln \bar{X}+1.96\frac{1}{\sqrt{n}})=0.95 $$

将样本数据代入计算，得到：

$$ P(0.3573-1.96\frac{1}{\sqrt{4}}\leq \mu \leq 0.3573+1.96\frac{1}{\sqrt{4}})=0.95 $$

即置信水平为95%的置信区间为：

$$ \mu \in [0.0051,0.7095] $$

(2) 由于$Y=\ln X$服从正态分布$N(\mu,1)$，所以$X$服从对数正态分布。

对数正态分布的数学期望为：

$$ E(X)=e^{\mu+\frac{1}{2}} $$

利用对数正态分布的数学期望的置信区间公式，可得：

$$ P(\ln(\bar{X})-\frac{1.96}{\sqrt{n}}-\ln(e^{\bar{Y}+\frac{1}{2}}) \leq 0 \leq \ln(\bar{X})+\frac{1.96}{\sqrt{n}}-\ln(e^{\bar{Y}+\frac{1}{2}}))=0.95 $$

化简得：

$$ P(\bar{X}e^{-\frac{1}{2}-1.96/\sqrt{n}}\leq E(X) \leq \bar{X}e^{-\frac{1}{2}+1.96/\sqrt{n}})=0.95 $$

将样本数据代入计算，得到：

$$ P(0.85\leq E(X) \leq 1.63)=0.95 $$

即置信水平为95%的置信区间为：

$$ E(X) \in [0.85,1.63] $$