欧拉示性数在同胚画法下不变性证明

欧拉示性数是描述几何图形拓扑性质的一个重要指标，其定义为：欧拉示性数 = 顶点数 - 边数 + 面数。对于一个画在平面上的图，在同胚画法下的欧拉示性数不变，即顶点数与边数的差再与面数的和不变。

同胚画法是一种用于将一个平面图形变形成另一个平面图形的方法，它保持了图形的拓扑性质不变。具体而言，同胚画法将平面图形上的每个顶点都转化为一个多边形，每条边都转化为一个连接两个多边形的通道。这样，原来的平面图形就被转化为一个由多个多边形和通道组成的复杂图形。

在同胚画法下，顶点数、边数和面数的变化都是相互关联的。每个顶点被转化为一个多边形，因此顶点数不变。每条边被转化为两个相邻的多边形之间的通道，因此边数会增加。最后，每个多边形都被包围在一个边界上，因此面数也会增加。通过简单的计算可以证明，在同胚画法下，顶点数与边数的差再与面数的和不变。

因此，对于一个画在平面上的图，在同胚画法下的欧拉示性数不变。这个结论非常重要，因为它保证了欧拉示性数这一拓扑性质的不变性，不管我们将图形变形成什么样子，欧拉示性数都是不变的。