自由度机械臂动力学方程推导 - 拉格朗日方法详解

自由度机械臂的动力学方程可通过拉格朗日方法推导得到。

假设机械臂有n个自由度，每个自由度的广义坐标为$q_i(i=1,2,...,n)$，则机械臂的拉格朗日函数为：

$L=T-V$

其中，$T$为机械臂的动能，$V$为机械臂的势能。

机械臂的动能可以表示为各自由度动能之和：

$T=\sum\limits_{i=1}^n T_i$

每个自由度的动能可以表示为：

$T_i = \frac{1}{2} m_i (\dot{x_i}^2+\dot{y_i}^2+\dot{z_i}^2)+\frac{1}{2}I_i (\dot\alpha_i^2+\dot\beta_i^2+\dot\gamma_i^2)$

其中，$m_i$为机械臂质量，$I_i$为机械臂关节惯量，$(x_i,y_i,z_i)$为机械臂末端执行器的位置坐标，$(\alpha_i,\beta_i,\gamma_i)$为机械臂关节角度。

机械臂的势能可以表示为各自由度势能之和：

$V=\sum\limits_{i=1}^n V_i$

每个自由度的势能可以表示为：

$V_i=m_i g z_i$

其中，$g$为重力加速度。

根据拉格朗日方程：

$\frac{d}{dt}(\frac{\partial L}{\partial\dot{q_i}})-\frac{\partial L}{\partial q_i}=Q_i$

其中，$Q_i$为机械臂的广义力，可以表示为机械臂与外界的作用力和关节驱动力的合力。

将拉格朗日函数代入上式，并对关节角度的二阶导数求导，得到自由度机械臂的动力学方程组：

$M(q)\ddot{q}+C(q,\dot{q})\dot{q}+G(q)=u$

其中，$M(q)$为机械臂的质量矩阵，$C(q,\dot{q})$为机械臂的科里奥利矩阵，$G(q)$为机械臂的重力矩阵，$u$为机械臂的关节驱动力矩。