求多项式 5a^2 + 6ab + 3b^2 - 30a - 20b + 46 的最小值

要找到这个多项式的实数范围内的最小值，可以将其看作一个关于变量a和b的二次函数。可以用求导的方法来找到该函数的最小值。

令f(a, b) = 5a^2 + 6ab + 3b^2 - 30a - 20b + 46。

对于f(a, b)，分别对a和b求偏导数： ∂f/∂a = 10a + 6b - 30 ∂f/∂b = 6a + 6b - 20

令∂f/∂a = 0，解得10a + 6b - 30 = 0，即5a + 3b - 15 = 0。 令∂f/∂b = 0，解得6a + 6b - 20 = 0，即a + b - 10/3 = 0。

解这个方程组，得到a = 10/3 - b/3 和 b = 15 - 5a/3。

将a和b的值代入f(a, b) = 5a^2 + 6ab + 3b^2 - 30a - 20b + 46，化简得到： f(a, b) = 5(10/3 - b/3)^2 + 6(10/3 - b/3)b + 3b^2 - 30(10/3 - b/3) - 20b + 46。

化简这个式子，得到： f(a, b) = 25/3b^2 - 50b + 100/3

现在需要找到这个二次函数的最小值。由于系数25/3为正数，所以这个二次函数的抛物线开口朝上，因此最小值位于顶点处。

顶点的横坐标可以通过 b = -b0/2a0 的公式计算得到，其中a0 = 25/3，b0 = -50。代入计算得到 b = -(-50)/(2*25/3) = 30/5 = 6。

将b = 6代入f(a, b) = 25/3b^2 - 50b + 100/3，得到： f(a, 6) = 25/3(6)^2 - 50(6) + 100/3 = 200/3 - 300 + 100/3 = 0。

因此，这个多项式在实数范围内的最小值为0。